§16. Газ молекулаларының жылдамдықтары бойыншатаралуының

40 
жылдамдықтар кеңістігіндегі көлемдік таралу функциясы болады (сол 
кеңістікте). 
Сәйкесінше
ықтималдылығы молекула жылдамдығының y осі 
бойынша таралу функциясы, мұнда молекула жылдамдығы
интервалында жатады, ал қалған екі құраушы
және 
кез келген болуы 
мүмкін. Осылай
ықтималдылығы молекула жылдамдығының z 
құраушысы
интервалында болу ықтималдылығы болады, ал 
және
құраушылары кез келген мәнге ие болуы мүмкін. 
2. Молекула жылдамдығының 
, 
, 
және 
интервалдарына түсу ықтималдықтарын А, В, С деп белгілейік. Молекула 
жылдамдығының 
жылдамдық 
кеңістігінде 
көлем 
элементіне түсу ықтималдылығын анықтайды. Бұл оқиғаның 
ықтималдығын ықтималдықтарды көбейту теоремасын қолданып анықтау 
керек. Ол үшін А оқиғасының ықтималдығын В оқиғасының шартты 
ықтималдығының (А оқиғасы орындалды деп) және А,В оқиғалары 
орындалды деп есептелініп С оқиғасының ықтималдығына көбейту керек. 
Максвелл А,В және С оқиғалары тәуелсіз деп ескерді. Демек, шартты 
оқиғаларды анықтаудың қажеті жоқ деп қарастырды. Мұндай жуықтау 
көптеген физиктер және математиктер тарапынан көп сыналды. Бірақ 
көптеген зерттеулердің нәтижесінде оның дұрыс екендігін Больцман, 
Максвелл және т.б. дәлелдеп көрсетті. 
Сонымен молекуланың бір мезетте
,
, 
және 
интервалдарында жату ықтималдылығы мына көбейтіндімен 
анықталуы керек: 
( 
)
 
Дәл осы ықтималдық үшін біз былай жазғанбыз
. 
Онда таралу функциясы былай анықталады 
( 
)
(16.1) 
3. Газ ішіндегі оң және теріс координаталық осьтердің бағыттары 
эквивалентті, сондықтан
=
. Бұдан функциясы
жылдамдықтың модуліне немесе квадратына
) тәуелді болу керек екендігі 
шығады. Осылайша газ изотропты болғандықтан функциясы да толық 
жылдамдықтың квадратына тәуелді болып, бағытына тәуелсіз болу керек. 
Сондықтан жылдамдық квадратының орынына сәйкесінше кинетикалық 
энергияларды алуға болады:
, 
, 
және 
немесе 
. Жаңа аргументтерге ауыссақ та 
функцияларды бұрынғыдай және деп жазамыз, шын мәнінде бұлар 
аналитикалық жағынан мүлдем басқа функциялар. (13.1) теңдеуді былай 
жазамыз: 

41 
(16.2) 
4. (16.2) – функционалдық теңдеу бойынша 
және функцияларының 
түрін анықтауға болады.
аргументтерінің мына шарттарды 
қанағаттандыратын өзгерістерін қарастырайық: 
1) 
,
. Бұл шарт орындалғанда (16.2) теңдеу 
дұрыс болып қалады. Бұдан
екендігі шығады, себебі 
. 
Бірінші 
өрнегін 
логарифмдеп, 
одан 
кейін 
дифференциалдаймыз. 
себебі
, бұдан
екендігі шығады. 
Бұл қатынасты шығарғанда
және 
аргументтері 
шартын қанағаттандырады деп ескерілген. Шынында С және
, 
аргументтері кез келген мәндерге ие болуы мүмкін. Осы екі қатынастың 
теңдігі 
және 
қатынастары бір тұрақтыға тең болғанда ғана 
орындалады. Бұл тұрақтыны α деп белгілейік: 
, 
немесе түрлендіруден кейін: 
. 
Енді соңғы өрнекті интегралдасақ, онда таралу функцияларының мынадай 
түрлерін аламыз: 
,
,
(16.3) 
мұндағы А
1
жаңа тұрақты. 
α тұрақтысының мәні оң болуы керек, теріс болса
кинетикалық энергиясы 
шексіз артқанда
функциясы шексіз өсер еді. 

42 
5. 
таралу функциясы –
үшін 
(16.4) 
мұндағы
. 
(16.4) формула Максвеллдің жылдамдық бойынша таралу заңы болып 
табылады. Бұл заңды толық анықтау үшін α және А тұрақтыларын анықтау 
қажет. Ол үшін функциясынан емес функциясынан бастау оңай болады. 
функциясының жылдамдыққа тәуелділігі графикте көрсетілген. Бұл график 
Гаусстық таралу графигіне ұқсас. 
Суретте штрихталған жолақтың ауданы 
жылдамдықтың 
х 
құраушысының 
интервалында 
жату 
ықтималдылығын береді. Егер оны N 
молекулалар санына көбейтсек, онда 
жылдамдықтары 
осы 
интервалда 
жататын 
молекулалардың ықтимал 
санын анықтаймыз.
( 
)- функциясы мынадай шартпен 
нормирленуі керек: 
(16.5) 
Осы өрнекті интегралдауды жеңілдету үшін айнымалысын енгізейік 
. Онда (16.5) шарт мына түрге келеді: 
(16.6) 
мұндағы
(16.7) 
Пуассон интегралы деп аталады. 
Бұдан 
(16.8) 
екендігін анықтаймыз. 
6. Мәселе тек 
-тұрақтысын есептеуге келіп тірелді. Ол үшін x осі бойынша 
жылулық қозғалыстағы молекуланың орташа кинетикалық энергиясы φ-
таралу функциясы арқылы былай анықталатынын ескереміз. 
12-сурет. 

43 
немесе, толық жазсақ 
Енді интегралдау айнымалысын енгізейік. Сонда 
мұндағы 
Бөлектеп интегралдау әдісімен интегралдасақ мынадай нәтиже аламыз: 
Бірінші қосынды нөлге айналады, себебі болғанда
функциясы 
нөлге, аргументі шексіздікке ұмтылғанына қарағанда тезірек ұмтылады. 
Нәтижесінде
Мұндағы
интегралы Пуассон интегралы екенін ескерсек, демек
сондай ақ
екенін ескерсек, онда 
; 

44 
Больцман теоремасына сәйкес ілгерілемелі қозғалыстың әрбір еркіндік 
дәрежесіне сәйкес келетін орташа кинетикалық энергия
деп 
анықталатындығын ескерсек, онда
(16.9) 
Олай болса, 
, ал
(16.10) 
Нәтижесінде
және таралу функциялары үшін 
мынандай өрнектер аламыз: 
; 
; 
; (16.11) 
және 
. 16.12) 
Кинетикалық энергияның
, 
, 
құраушыларын 
ескеріп толығырақ жазсақ, онда 
; 
; 
; (16.13) 
және 
. (16.14) 
Осы формулалар жылдамдықтардың таралуының Максвелдік заңы болып 
табылады. Бұл формулаларды қозғалысты классикалық әдіспен сипаттауға 
болатын жағдайларда тек қана газдар үшін емес, сондай ақ сұйықтарға және 
қатты денелерге де қолдануға болады. 

45 
Бақылау сұрақтары: 
1. 
,
,
және функциялары нені көрсетеді? 
2. 
-көбейтіндісі нені анықтайды? 
3. Пуассон интегралын жазып көрсет және ол қалай анықталады? 
4. 
функциясының графигі қандай таралуға ұқсас? 
5. 
,
,
және функцияларын жазып көрсет. 

жүктеу/скачать 5,05 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: