Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики
жүктеу/скачать 2,7 Mb. Pdf көрінісі
|
Рис. 13 38
естественно, противятся. Прибегать к подобному приему можно лишь в самых исключительных случаях. С первых уроков желательно включать новые понятия в разнообразную систему упражнений. Сделаем ее набросок.
)
)
Решение. а) для точки
(см. рис.3) модули абсциссы и ординаты равны √
, значит
√
; б) для точки
(см. рис.4) модули абсциссы и ординаты равны
и √
(точка расположена ближе к вертикальной оси, чем к горизонтальной, значит, модуль абсциссы меньше, чем модуль ординаты); во второй четверти абсцисса отрицательна, значит,
Вместе с учащимися надо подсчитать значения синуса и косинуса для всех точек, отмеченных на обоих макетах, и убедить их в том, что делать это легко и приятно. Рис.14 Пример 9. Определить знаки чисел
Решение. Отметив на числовой окружности точки 3 и 4 (рис.14), делаем вывод, что
При желании задание можно усложнить, например, так: определить знак произведения
Пример 10. Какое из значений больше: или ? Решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2 (см. рис.5). Точка 1 принадлежит первой четверти и удалена от точки (
) на расстоянии примерно 0,57. Точка 2 принадлежит второй четверти и удалена Рис.14 39
от той же точки (
) по окружности на расстояние примерно 0,43, т.е. она находится ближе к точке . Значит, точка 2 расположена выше, чем точка 1, а потому ее ордината больше, т.е.
)
√
Решение. а) Так как синус – это ордината, то речь идет об отыскании на числовой окружности точек с ординатой
пример 6). б) Так как косинус – это абсцисса, то речь идет об отыскании на числовой окружности точек с абсциссой
√ . Эта задача решена выше (см. пример 7). На первых уроках тригонометрии решение уравнений не должно являться самоцелью (хотя и это важно). Этот процесс пока выполняет роль средства для усвоения главного: синус – ордината, косинус – абсцисса. Тема «Простейшие тригонометрические уравнения» фактически полностью подготовлена в предыдущем параграфе исследования. Речь, правда, идет пока не о любых простейших тригонометрических уравнениях, а только об уравнениях вида где
√
√
Заметим, что из «идейных соображений» полезно уже здесь предложить школьникам решить уравнения вида
или . Действуя по выработанному алгоритму, учащиеся строят прямую
для первого уравнения и – для второго уравнения и находят на окружности по паре точек, служащих геометрическими образами решений уравнения. Но здесь они сталкиваются с проблемой: каким числам
соответствуют найденные точки – неизвестно, на двух стандартных макетах их нет. Учащимся нужно сообщить, что к этой проблеме придется вернуться позднее. На наш взгляд, в этом случае будут соблюдены два основных критерия проблемного обучения: 1) проблема должна появиться перед
40
учениками (а не перед учителем или автором учебника) естественным путем, причем необходимость ее решения они должны осознать сами и без принуждения; 2) решение проблемы должно быть не сиюминутным (что характерно для
проблемных ситуаций), а отсроченным – проблема должна «вылежаться». Пример 12. Решить
неравенство
. Решение. Прочтем задание геометрически: – это ордината точки
числовой окружности; значит, нужно найти на числовой окружности все такие точки, которые имеют ординату большую, чем
затем записать все те числа , которым эти точки соответствуют. Итак: 1) проведем прямую
; она пересекает числовую окружность в точках и (рис.15); 2) возьмем часть окружности, лежащую выше проведенной прямой (
); отметим ее штриховкой; 3) с учетом положительного направления обхода окружности устанавливаем, что при движении по заштрихованной дуге начальной точкой является точка , конечной – точка ; значит, схема для аналитической записи ответа такова:
4) с помощью второго макета (см. рис.4) «присваиваем имена» точкам
и : соответственно
и
; получаем:
– «ядро» ответа и
– окончательный ответ. Рис. 15 41
Как видим, в процессе решения этого примера фактически предложен алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности. Пример 13. Решить неравенство
. Решение. С помощью того же рисунка 15 получаем геометрическое решение неравенства – дуга, лежащая ниже хорды . При движении по выбранной дуге в положительном направлении начальной точкой является точка , конечной – точка , значит, схема для аналитической записи ответа такова: .
Чтобы правильно записать ответ, «выпрямим» дугу (рис.16). Точка соответствует числу , а точка – числу
– отрицательному числу
(это можно установить по второму макету, см. рис.4). Значит, имеем:
– «ядро» ответа и
– окончательный ответ. Самое трудное в тригонометрических неравенствах – аналитическая запись ответа в тех случаях, когда дуга, которая служит геометрическим решением неравенства, содержит внутри себя точку – начало отсчета на числовой окружности (правый конец горизонтального диаметра). В таких случаях во избежание ошибок начальную точку дуги нужно характеризовать отрицательным числом (идя как бы по первой отрицательной окружности), а конечную точку дуги характеризовать как обычно – с помощью одного из двух основных макетов. Еще один совет: выделить «ядро» ответа, чтобы убедиться в непротиворечивости записи, т.е. в том, что число, содержащееся в его левой 42
части двойного неравенства, меньше числа, содержащегося в его правой части.
Пример 14. )
Решение. а)
Воспользуемся предложенным алгоритмом: 1) проведем прямую
она пересекает числовую окружность в точках и (рис.17); 2) возьмем часть окружности, лежащую левее проведенной прямой и точки окружности на самой прямой (
) отметим ее штриховкой; 3) учитывая направление обхода окружности, устанавливаем, что начальной точкой дуги является точка , конечной – точка ; составляем схему для аналитической записи ответа:
4) с помощью второго макета (рис.4) «присваиваем имена» точкам и
: соответственно
и
; получаем:
– «ядро» ответа и
– окончательный ответ. б) Воспользовавшись тем же рисунком, составляем схему для записи ответа:
; получаем:
– «ядро» ответа и
– окончательный ответ. Замечание 2. Введя синус и косинус числового аргумента, нужно обязательно сделать рекурсию: соотнести новое истолкование с тем, которое уже известно школьникам, когда аргументом являлась угловая величина. Сделать это можно, например, так. Пусть дан угол . Совместим его с числовой окружностью так, как показано на рис.18, т.е. вершина угла совмещена с центром окружности (с началом системы координат), а одна
43
сторона угла «пущена» по положительному направлению оси абсцисс. Вторая сторона угла пересекает окружность в точке . Абсциссу (ординату) точки естественно считать косинусом (синусом) угла . Тогда можно добраться и до привычных соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Для этого опять-таки нужно удачно совместить прямоугольный треугольник и числовую окружность (рис.19). Имеем:
;
; Здесь
Рис. 20 Рис. 21
Рассмотрим свойства синуса и косинуса. 44
( ) ( ) Доказать это свойство труда не составляет (рис.20). Свойство 2. ( ) ( ) Это сразу следует из того, что числам и соответствует одна и та же точка числовой окружности.
( ) ( ) Доказать это свойство также труда не составляет (рис.21).
(
). Решение. 1-й способ:
(
)
(
) (
)
. 2-й способ: (
) (
)
. 2.3. Методика изучения функций
Заметим, что пока мы избегали обозначений типа а использовали обозначения . Это не случайно – учащиеся сначала должны привыкнуть к новым названиям для абсциссы и ординаты точки числовой окружности ( ). Рассматривая же синус и косинус как функции, уместнее перейти к обычным обозначениям. Итак: функция и ее свойства. 1. Область определения: ( ). 2. ( ) , т.е. – период функции. Значит, на любом промежутке оси длиной можно построить ветвь графика, а затем, сдвигая эту ветвь по оси на получить весь график. В качестве такого промежутка возьмем [ ].
3. ( ) , т.е. – нечетная функция. Значит, ее график симметричен относительно начала координат. Построение графика функции осуществляется в три этапа: 1) по точкам – на отрезке [ ] (рис.22, а);
45
2) на отрезке [ ] с использованием симметрии относительно начала координат (рис.22, б); 3) весь график – с использованием периодичности функции (рис.22, в). Анализируя график, несложно выделить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума. Можно отметить и такое свойство функции
, как ее непрерывность, не давая пока точного определения, а используя наглядно-интуитивное представление о непрерывности как о возможности начертить график функции, не отрывая карандаша из бумаги. По той же схеме проводится работа с функцией .
в) Рис. 22
46
Рис. 23 Графическое решение уравнений и неравенств также полезно демонстрировать ученикам. На наш взгляд, примеры типа: «решить уравнение (ответ: x , рис.23)» должны относиться к обязательному уровню. При желании можно добраться и до эффективных примеров, вносящих вклад в эстетическое воспитание учащихся средствами математики. Вот один из них (достаточно сложный). Пример 16. Решить уравнение
| | | | . Решение. Уравнение имеет два корня:
(рис.24). Рис.24 Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [
Ответ:
. 47
Рис. 25 Примеры подобного рода, как мы отметили выше, ценны для формирования навыков чтения графиков, для подготовки к последующему изучению темы «Наибольшие и наименьшие значения величин», наконец просто для разнообразия сюжетов. И не следует забывать еще о двух направлениях общей концепции изучения функций в школе: о функциональной символике и о чтении графика.
Изучение этих функций желательно провести по тому же плану, что и изучение функций .
Отсюда сразу определяются знаки по четвертям: . Далее можно предложить учащимся примеры следующих типов: вычислить
определить знак числа , – а затем перейти к свойствам
( ) ( ) Доказательство. ( ) ( ) ( )
Свойство 2. ( ) ( ) Доказательство. ( ) ( ) ( )
Так же, как для синуса и косинуса, целесообразно включить эти свойства в систему упражнений. 48
(
)
Решение.
(
)
(
)
( ) После введения определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса появляются и другие сюжеты. К ним относятся рутинные упражнения, связанные с использованием основного тригонометрического тождества, которое получается сразу при введении определений синуса и косинуса – ведь это всего-навсего иная форма уравнения единичной окружности (
)
Есть и более содержательные упражнения. Пример 19. Расположить в порядке возрастания числа: а)
б)
в)
г)
Решение. а) Отметим точки 2, 3, 4, 5 на числовой окружности (рис. 27). Замечаем, что точки 2 и 3 принадлежат второй, точка 4 – третьей, точка 5 – четвертой четверти числовой окружности. Значит, , остальные заданные числа – положительные. Далее, расстояние (по окружности) от точки 3 до точки равно , расстояние от точки до точки 5 равно (точка
расстояние от точки 2 до точки . Значит, длины дуг связаны следующим образом: . Аналогичным образом связаны между собой отрезки . Имеем: . Рис.26 49
Это значит, что . В итоге получаем следующее расположение заданных чисел в порядке возрастания:
б) Отметим точки 3, 4, 6, 7 на числовой окружности (рис.26). Замечаем, что точка 3 располагается на окружности ближе к точке , чем точка 4, а точка 6 – ближе к точке , чем точка 7. Сравним абсциссы (т.е. косинусы) точек 3, 4, 6, 7, приходим к выводу, что
. Заданные числа располагаются в порядке возрастания следующим образом: . в) Отметим точки 2, 3, 4, 5 на числовой окружности (рис. 28) и сразу делаем вывод, что все заданные числа отрицательны. Сравним по длине отрезки
– это, соответственно,
Замечаем, что точка 3 располагается на окружности ближе к точке , чем точка 2 – к , точка 4 – к и точка 5 – к . Значит, отрезок – наибольший по длине. Далее, точка 2 располагается к точке ближе, чем точка 4 – к , а точка 4 расположена к точке ближе, чем точка 5 – к . Значит, Итак, а потому Заданные числа располагаются в порядке возрастания следующим образом:
г) Здесь
Используя свойства числовых неравенств, получаем:
50
Итак, . Как и в случаях синуса и косинуса, переходя к изучению функций тангенс и котангенс, уместно вернуться к привычным обозначениям. Итак, функция и ее свойства: 1. Область определения:
. 2. ( ) , т.е. – период функции. Значит, для начала можно ограничиться построением ветви графика на промежутке длиной , например (
). 3. ( ) , т.е. – нечетная функция.
Таким образом, как и для функции , построение графика функции
осуществляется в три этапа: 1)
[
) (рис. 29); 2)
с помощью преобразования симметрии – на промежутке (
) (рис. 30); 3) с использованием периодичности функции – весь график (рис. 31). Рис. 29 51
По графику определяют промежутки возрастания функции, промежутки и точки разрыва.
Рис. 30 Рис. 31
Аналогичная работа проводится с функцией . Примеры 20. Решить уравнение √ Решение. Построив графики функций и √ (рис.32), заметим, что «главная ветвь» тангенса пересекает прямую в точке с абсциссой
. Другие точка пересечения имеют соответственно абсциссы
и т.д. Следовательно ,
52
Рис.32 Пример 21. Решить неравенство . Решение. Построив графики функций и (рис. 33), заметим, что «главная ветвь» котангенса лежит ниже прямой на промежутке (
).
Используя периодичность, получаем ответ:
.
53
арккотангенса числа Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс – это обратные тригонометрические функции. Для практических приложений надо дать содержательное истолкование записей
. Приведем эти истолкования. 1) Если | | , то – это дуга (угол), синус которой равен и которая заключена в пределах от –
до
:
. 2) Если | | , то – это дуга (угол), косинус которой равен и которая заключена в пределах от до :
. 1)
– это дуга (угол), тангенс которой равен и которая заключена в пределах от –
до
:
. 2)
– это дуга (угол), котангенс которой равен и которая заключена в пределах от до : . В большинстве случае в школьном курсе математики сверх этих четырех положений ничего не рассматривают. Однако полезны существенные дополнения чисто методического плана. Первое дополнение – геометрическое истолкование и на числовой окружности (рис. 34). Это позволит сразу включить в систему упражнений простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. 54
Рис. 34 Пример 21. Решить уравнение
. Решение. На числовой окружности имеются две точки с ординатой
– это точки и (рис.35). Так как
, то точка соответствует всем числам вида
, то точка соответствует всем числам вида
Ответ:
. Пример 22. Решить неравенство
Решение. 1) Прямая
пересекает числовую окружность в точках и (рис. 36). 2) Возьмем ту часть окружности, которая лежит правее проведенной прямой, и отметим ее.
55
3) Составим схему для аналитической записи ответа: . 4) «Присваиваем имена» точкам и . Точка соответствует числу (
)), а точка – числу – (
).
Записываем «ядро» ответа (
) (
) и окончательный ответ (
) (
) . Второе дополнение – четыре важные формулы: ( ) ( ) (– ) (– ) Их можно объяснить учащимся с помощью рисунков (рис. 37, 38). Использование этих формул облегчает вычислительную работу с обратными тригонометрическими функциями. Например,
( √
) √
. 56
Рис. 37 Рис. 38 Третье дополнение – полезно показать учащимся хотя бы один содержательный пример на преобразование обратных тригонометрических выражений, поскольку здесь речь фактически идет о ранее изученных сюжетах, связанных с преобразованием тригонометрических выражений, но сформулированных на новом языке, в виде другой математической модели.
(
(
)). Решение. Положим (
(
)) можно перевести на более привычный язык:
; вычислить
. Переход от к
1)
, значит,
2)
, значит,
, откуда получаем
или
. Поскольку
, а в этих пределах
. В итоге получаем
. Ответ: 2. 57
В данном параграфе раскроем специфику использования при решении тригонометрических уравнений трех общих методов решения уравнений: 1) метода разложения на множители, 2) метода введения новых переменных и 3) функционально графического метода. Рассмотрим довольно трудный, но принципиальный как с методической, так и с технической точек зрения вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях. Выделим вкратце методические особенности решения систем тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические уравнения Во всех учебниках А.Г. Мордковича из основных содержательно- методических линий в качестве приоритетной выбрана функционально- графическая линия. Это выражается прежде всего в том, что какой бы класс функций, уравнений, выражений ни изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме: функция – уравнения – преобразования. По мнению А.Г. Мордковича целесообразнее сначала изучить «чистые модели» (таковыми в математике являются основные элементарные функции), а уж потом переходить к изучению «навороченных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые надо упрощать, используя формульный аппарат). А как обстоит дело в тригонометрических уравнениях? Примерно так же: сначала надо разобраться с «чистыми моделями», т.е.
с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «навороченным моделям», т.е. к уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать», используя рутинный аппарат формул. Обычная методическая ошибка в изучении тригонометрии в школе в последние годы заключается в следующем: школьникам не дают возможности разобраться со 58
спецификой тригонометрических уравнений – простейших уравнений типа
(
) √ . А ведь в этих уравнениях заложено много новых дидактических компонентов, каждый из которых требует внимания, уважительного отношения, а значит, и времени. Вот эти компоненты. 1. До сих пор при решении уравнений школьникам встречался лишь случай конечного множества корней. Теперь же уравнение имеет бесконечно много корней. Надо это воспринять и прочувствовать. 2. Странный (для школьников) «хвост» в записи корней: то более того, само наличие параметра уже должно насторожить и учителя, и ученика. Мы же вместо осмысления ситуации заставляем детей просто писать каждый раз . «Это, кстати, не соответствует четкости и организованности математиков, которые, как правило, о чем-то договариваются раз и навсегда и обычно соблюдают эту договоренность. Так вот, математики договорились, что в записи корней простейшего тригонометрического уравнения параметр всегда принимает любые целочисленные значения, и практически никогда этого явно не пишут (за исключением особо ответственных случаев – на экзаменах или контрольных работах)» [9, с.20]. 3. Требуют специального внимания входящие в состав формул корней обратные тригонометрические функции – это тоже отдельный дидактический компонент. 4. Привыкнуть надо и к «выкрутасам» типа ( )
не просто. 5. Научив школьников решать уравнения вида учитель может заметить, как тяжело им даются уравнения вида или (
59
6. Весьма трудным в методическом плане является вопрос об отборе корней в тригонометрических уравнениях. В основном, отбору корней учат только в конце изучения раздела, посвященного тригонометрическим уравнениям. Это – методическая ошибка. Учить отбору корней надо именно на простейших уравнениях, заложив соответствующие сюжеты в систему упражнений. Задачи, связанные с отбором корней, просто бесценны для осознания структуры формулы корней, для понимания роли параметра в этой формуле. При этом полезно показать школьникам оба известных приема: перебор по параметру и решение двойного неравенства. Итак, в теме «Тригонометрические уравнения», которая предшествует изучению формул тригонометрии, предлагается изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно
специфику тригонометрических уравнений. Перечень составляют: 1) простейшие уравнения – отыскание всех решений и нахождение корней, принадлежащих заданному промежутку; 2) уравнения, при решении которых используется метод введения новой переменной: однородные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям с помощью основного тригонометрического тождества, например
, получим
и т.д.); 3) аналогичные тригонометрические неравенства. Метод разложения на множители Успешное применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений зависит от удачного выбора той или иной формулы из достаточно обширного списка формул тригонометрии. Можно ли здесь
предложить какие-либо полезные советы?
Можно. Тригонометрические преобразования во многих случаях подчиняются трем «законам»:
60
«1-й закон»: «увидел сумму – делай произведение» (речь идет о формулах для преобразований сумм в произведения); «2-й закон»: «увидел произведение – делай сумму» (речь идет о формулах для
преобразования произведений в суммы); «3-й закон»: «увидел квадрат – понижай степень» (речь идет о формулах
). Если мы не знаем, за что «зацепиться», с чего начать преобразование тригонометрического выражения, надо начинать с одного из этих «законов», и в большинстве случаев (по крайней мере, на школьном уровне) все пройдет удачно.
Пример 24. Решить уравнение
. Решение. В левой части уравнения 4 раза применяем «3-й закон»:
,
( ) ( ) . Теперь в левой части уравнения 2 раза применим «1-й закон»: . Далее,
( ) . Остается рассмотреть три простых уравнения:
Из этих уравнений соответственно находим:
Можно заметить, что третья серия включает в себя первую целиком. Ответ:
Метод введения новых переменных 61
Решение. Имеем последовательно:
( )(
)
.
Ни , ни за скобки вынести нельзя, значит, в этом однородном уравнении 3-й степени можно (без потери корней) осуществить почленное деление на
Положив , получим:
( ) ( ) ( )(
)
√
√
Значит, либо т.е.
либо √ т.е.
Ответ:
Функционально-графический метод Данный метод связан либо с построением графиков функций
( ) ( ), либо с использованием каких-либо свойств этих функций. В тригонометрических уравнениях это выглядит достаточно красиво. Пример 26. Решить уравнение
√
(
) (1) Решение.
( )
Так как ( )
, а на промежутке (
] функция возрастает, то
( )
, т.е.
( )
√ . (2) Значит, правая часть уравнения (1) должна быть положительной. Более того, поскольку (
) , получаем 62
√ (
) √ (3) Сопоставляя неравенства (2) и (3), приходим к системе {
( )
√ √
(
) √
Первое уравнение системы обращается в верное равенство только при . Поскольку это значение удовлетворяет и второму уравнению системы, то – единственный корень уравнения (1).
Этот довольно трудный в методическом отношении вопрос в школьных учебниках решается самым простым образом – почти не рассматривается. Но, по большому счету, от него никуда не уйти: в процессе решения тригонометрических уравнений могло быть допущено расширение области определения или мог быть использован метод возведения обеих частей уравнения в четную степень. Значит, могли появиться посторонние корни, поэтому надо из найденных решений отобрать те, что на самом деле являются корнями заданного уравнения. Наконец, очень полезен как в дидактическом, так и в математическом плане сюжет, в последнее время достаточно популярный (например, на ЕГЭ): из корней данного тригонометрического уравнения отобрать те, которые принадлежат данному промежутку.
заданному промежутку: 1)
[ ]; 2)
[
]; 3)
[
]. 63
. Осуществим «перебор по параметру». Если
, то
[ ]
[ ]. Если
, то
, т.е.
или
[ ]
[ ]. Если
Оба этих значения больше, чем , т.е. не принадлежат заданному отрезку, тем более не принадлежат заданному отрезку те значения , которые получаются при . Если
из этих значений
[ ]
Если то получаются точки левее, чем – , т.е. не принадлежащие заданному отрезку.
. )
. Осуществим «перебор по параметру». Если
[
] (следует помнить в таких случаях, что ). Если
[
]. Если
[
]. Если
[
] (здесь приходится считать:
).
Если
[
]. Аналогично не подходят те значения , которые получаются при
. Ответ:
. 3) Здесь приходит «наложение трудностей»: и значение синуса «неудобное» (
), и промежуток «неудобен» (легче работать с долями числа 64
). Имеем: ( )
Оценим значение
. Заметим, что √
, значит, √
. Во всяком случае,
Теперь можно делать «перебор по параметру». Если
. Из (1) следует, что
[
]. Если
Из (1) следует, что [
]. Если то
значит, не
принадлежит [
].
Тем более не подойдут те значения , которые получаются при
а также при . Ответ:
. Системы тригонометрических уравнений При решении систем тригонометрических уравнений применяются обычные приемы решения систем уравнений (подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных). Однако имеются две тонкости, две специфические особенности, присущие именно указанному классу задач. Мы рассмотрим их на конкретном примере. Пример 28. Решить систему уравнений {
обоих уравнений, получим систему, равносильную данной: {
т.е. { ( ) ( )
65
Из первого уравнения находим:
. Из второго уравнения, если пользоваться общей формулой, получим:
( )
(
) , но целесообразно при решении систем не применять общие формулы (типа ( )
), а записывать решения с помощью числовой окружности (это – мы упоминали выше). В нашем случае получаем
. При решении систем тригонометрических уравнений существенным является принцип использования различных обозначений ( ) параметра в записи первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в записи решения первого уравнения системы параметр обозначен буквой
, то в записи решения второго уравнения системы эту букву в качестве параметра использовать уже нельзя – в нашем примере мы для этой цели использовали букву (это – вторая из двух специфических особенностей). А теперь доведем решение системы до конца. Имеем: {
{
Из первой системы находим: {
( )
( )
Из второй системы находим: {
( )
( )
(
) (
)
66
Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой окружности. Не секрет, что учащийся, хорошо овладевший понятием «числовая окружность», свободно и непринужденно работающий с ней, достаточно уверенно обращается с тригонометрическими функциями, уверенно решает тригонометрические уравнения и неравенства. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать надежный фундамент для успешного усвоения материала. В связи с этим, мы в своей работе выделили пять типов задач с числовой окружностью: - отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа ;
- отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа ; - составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности; - отыскание декартовых координат точек числовой окружности, центр которой совмещен с началом системы координат; - отыскание на числовой окружности точек по заданным координатам,– и раскрыли методические особенности их решения, а также определили дидактические цели их использования при изучении тригонометрии. Все эти типы задач нашли отражение в разработанном нами уроке изучения нового материала на тему «Числовая окружность» для учащихся 10-го класса. В исследовании нами была рассмотрена также методика изучения тригонометрических функций, уравнений и неравенств в курсе математики старшей школы. В результате разработаны еще один урок обобщения и систематизации знаний на тему «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений» и система тренировочных упражнений по подготовке к ЕГЭ (задания уровней В7 и С1).
67
Таким образом, все поставленные задачи были решены, и тем самым, цель достигнута. Данная работа может быть использована в учебном процессе учителями математики общеобразовательных школ,
а также
старшеклассниками при подготовке к ЕГЭ. 68
1. Виленкин Н. Я. Алгебра и математический анализ 10 класс. Учебник для
углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях, Издательство Мнемозина, 13-е изд. стереотипное, 2006. - 336с. 2. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. Тригонометрия, М. : МЦНМО, 2003.-7-16 с. 3. Захарова, И. Г. Информационные технологии в образовании: учебное пособие для студ. пед. учеб. заведений/ И. Г. Захарова,– М.: Издательский центр «Академия», 2003. – 192 с. 4. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ)//Математика в школе.№3, С.18-27. 5. А.Н. Колмагорова Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. - 384 с. 6. Королев С.В. Тригонометрия на экзамене по математике, изд. Экзамен, 2006. – 254 с. 7. Марасанов А.Н. О методологическом подходе в обучении тригонометрии/ Н.И. Попов, А.Н. Марасанов// Знание и понимание. Умение. -2008. - №4. - 139-141 с. 8. Марасанов А.Н. Тригонометрия: учебное пособие, 2-е изд., испр и доп. (Н.И. Попов, А.Н. Марасанов.-Йошкар-Ола; Мар. гос. Ун-т, 2009.-114с.) 9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Тригонометрия. 10 класс, М. : Просвещение, 2008. – 61 с. 10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень). – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.:ил. 11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень), – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.:ил.
69
12. Мордкович А.Г. Беседа с учителями математики : Учеб.- метод.пособие.-2-е изд.,доп. и перераб.-М.:ООО «Издательский дом ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство Мир и Образование» 2005.-336с.:ил. 13. Мордкович А.Г., И.М. Смирнова. Математика-10 (базовый уровень). – 8-е изд., стер. – М. : 2013. – 431 с. 14.
Мирошин В. Отбор
корней в тригонометрических уравнениях.//Математика. Приложение к газете «Первое сентября» №17, 2006г.
15. Никольский М.К. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10 класса общеобразовательных учреждений. – 8-е изд. – М. :Просвещение, 2009. – 430 с. 8
2010. – 72 с. 17. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1. 18.
Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы
решения тригонометрических уравнений//Математика в школе. 2004. №1. С.24-26. 19. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях//Математика в школе. 2004. №1. С.20-24. 20. Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. Изд. «МЦНМО, Петроглиф, Виктория плюс», 2009. – 752 с.
|