Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики
Глава 2 Методика изучения тригонометрии в школьном курсе математики
жүктеу/скачать 2,7 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример 1.
- Первый тип задач.
- Пример 3.
- Рис. 2
- Второй тип задач.
- Третий тип задач.
- Пример 5.
- Пятый тип задач.
- Ответ
- Рис. 10 Рис.11
- 2.2. Методика изучения синуса и косинуса числа
| Глава 2
Методика изучения тригонометрии в школьном курсе математики 2.1. Методика изучения числовой окружности как второй модели числового множества Пусть дана окружность радиусом 1 и пусть на ней отмечена точка – правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу точку окружности по следующему правилу: 1) если
, то, двигаясь из точки в направлении против часовой
стрелки (положительное направление обхода
окружности), опишем по окружности путь длиной
; конец этого пути и будет искомой точкой
(рис.1); 2) если , то, двигаясь из точки в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной | |;
конец этого пути и будет искомой точкой ;
3) числу поставим в соответствие точку . Единичную окружность с установленным соответствием назовем
Это вторая геометрическая модель для множества действительных чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке) почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если точка
окружности соответствует числу , то она соответствует и всем числам вида , где – длина единичной окружности, а – целое
28
число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для понимания сути дела реальную задачу: Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – ( ) , два круга – ( ) ; если успел пробежать кругов, то путь составит ( ) . Вот теперь можно сопоставить полученный результат с выражением . Пример 1. Каким числам соответствует точка числовой окружности (рис.2)?
, то длина ее четверти равна
, а потому – всем числам вида
. Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки на рис.2:
Дуги
называют соответственно первой, второй, третьей, четвертой четвертями числовой окружности. Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих пяти различных типов задач с числовой окружностью. Первый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа .
числам
29
пополам точкой на три равные части – точками
(рис.2). Тогда
Значит, числу
соответствует точка , числу
, числу
– точка .
Пример 3. Найти
на числовой окружности точки,
соответствующие числам: )
)
)
Решение. Построения будем проводить на рис. 2. а) Отложив дугу (ее длина
от точки в отрицательном направлении, получим точку – середину дуги . Она и
б) Отложив дугу (ее длина
) семь раз от точки
в положительном направлении, получим точку , отделяющую третью часть дуги . Она и будет соответствовать числу
. в) Отложив дугу (ее длина
) пять раз от точки в положительном направлении, получим точку , отделяющую третью часть дуги . Она и будет соответствовать числу
(опыт показывает, что лучше откладывать не пять раз по
). После этого примера уместно привести два главных макета числовой окружности: на первом из них (рис.3) все четверти разделены пополам, на втором (рис.4) – на три равные части. Эти макеты полезно иметь в кабинете математики. Рис. 2 30
Рис. 3 Рис. 4
Обязательно следует обсудить с учащимися вопрос: что будет, если по каждому из макетов двигаться не в положительном, а в отрицательном направлении? На первом макете выделенным точкам придется присвоить другие «имена»: соответственно
и т. д.; на втором макете:
и т. д. Второй тип задач. Отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа .
числам 1; 2; 3; -5. Решение. Здесь придется опираться на то, что
. Поэтому точка 1 располагается на дуге ближе к точке , точки 2 и 3 – на дуге , первая – ближе к , вторая – ближе к (рис.5). Несколько подробнее остановимся на отыскании точки, соответствующей числу – 5. Двигаться надо из точки в отрицательном направлении, т.е. по часовой Рис. 5 31
стрелке. Если пройти в этом направлении до точки , получим
т.е. . Значит, точка, соответствующая числу – 5, расположена чуть правее точки (см. рис.5). Третий тип задач. Составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности. Фактически мы действуем по тому же плану, который использовался в 5-8 классах для изучения числовой прямой: сначала по числу находят точку, затем по точке – число, потом используют двойные неравенства для записи промежутков на числовой прямой. Рассмотрим для примера открытую дугу , где – середина первой четверти числовой окружности, а – середина ее второй четверти (рис.6). Неравенства, характеризующие дугу, т.е. представляющие собой аналитическую модель дуги, предлагается составлять в два этапа. На первом этапе составляют ядро аналитической записи (это главное, чему следует научить школьников); для заданной дуги получим
. На втором этапе составляют общую запись:
Если же речь идет о дуге , то при записи ядра нужно учесть, что точка
( ) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходится двигаться в отрицательном направлении. Значит, ядро аналитической записи дуги
имеет вид
, а общая запись имеет вид
Рис. 6 32
Термины «ядро аналитической записи дуги», «аналитическая запись дуги» не являются общепринятыми, они введены из чисто методических соображений. Четвертый тип задач. Отыскание декартовых координат точек числовой окружности, центр которой совмещен с началом системы координат. Сначала рассмотрим один достаточно тонкий момент, до сих пор практически не упоминавшейся в действующих школьных учебниках. Приступая к изучению модели «числовая окружность на координатной плоскости», учителя должны отчетливо осознавать, какие трудности ждут здесь учащихся. Эти трудности связаны с тем, что при изучении указанной модели от школьников требуется достаточно высокий уровень математической культуры, ведь им приходится работать одновременно в двух системах координат – в «криволинейной», когда информация о положении точки снимается по окружности (числу соответствует на окружности точка ( ); – «криволинейная координата» точки ), и в декартовой прямоугольной системе координат (у точки , как у всякой точки координатной плоскости, есть абсцисса и ордината). Задача учителя – помочь школьникам в преодолении этих естественных трудностей. К сожалению, обычно в школьных учебниках на это не обращают внимания и с самых первых уроков используют записи , не учитывая, что буква в сознании школьника четко ассоциируется с абсциссой в декартовой прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой окружности пути. Поэтому при работе с числовой окружностью не следует использовать символы , лучше .
33
Вернемся к четвертому типу задач. Речь идет о переходе от записи ( ) к записи
( ), т.е. от криволинейных координат к декартовым. Совместим числовую окружность с декартовой прямоугольной системой координат так, как показано на рис. 7. Тогда точки будут иметь следующие координаты: ( ) ( ) ( ) ( ). Очень важно научить школьников определять координаты всех тех точек, которые отмечены на двух основных макетах (см. рис.3,4). Для точки
рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 (рис.8). Его катеты равны √
√
, значит, координаты точки
( √
√
). Аналогично обстоит дело с точками
, но разница лишь в том, что надо учитывать знаки абсциссы и ординаты. Конкретно:
( √
√
),
( √
√
)
( √
√
). Что следует запомнить учащимся? Только то, что модули абсциссы и ординаты у середин всех четвертей равны √
, а знаки они должны уметь определять для каждой точки непосредственно по чертежу. Для точки
все сводится к рассмотрению прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 и углом
противолежащий углу
, будет равен
, а прилежащий катет равен
√
. Значит, координаты точки
( √
).
Аналогично обстоит дело с точкой
, только катеты «меняются местами», а потому Рис. 8 Рис. 9 34
получаем
(
√
). Именно значения
√
(с точностью до знаков) и будут «обслуживать» все точки второго макета (см. рис.4), кроме точек
, в качестве абсцисс и ординат. Предлогаемый способ запоминания: «где короче, там
; где длиннее, там √
». Пример 5. Найти координаты точки
(см. рис.4). Решение. Точка
расположена ближе к вертикальной оси, чем к горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты. Значит, модуль абсциссы равен
, модуль ординаты равен √
. Знаки в обоих случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка
(
√
). В четвертом типе задач отыскиваются декартовы координаты всех точек, представленных на первом и втором макетах, о которых упоминалось выше.
Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет отработано достаточко надежно, то переход на новую ступень абстракции (ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем обычно. Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки ( ) найти знаки декартовых координат ( ). Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу
соответствует точка четвертой четверти, значит, . Пятый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек по заданным координатам. Пример 6. Найти на числовой окружности точки с ординатой
и записать, каким числам они соответствуют. 35
пересекает числовую окружность в точках и
(рис.11). С помощью второго макета (см. рис.4) устанавливаем, что точка соответствует числу
соответствует всем числам вида
; точка
соответствует числу
, а значит, и всем числам вида
Ответ:
;
.
окружности точки с абсциссой
√ и
записать, каким числам они соответствуют. Решение. Прямая
√
пересекает числовую окружность в точках – серединах второй и третьей четвертей (рис.10). С помощью первого макета устанавливаем, что точка
соответствует числу
, а значит, всем числам вида
точка соответствует числу
числам вида
Ответ:
Надо обязательно показать второй вариант записи ответа к примеру 7. Ведь точка
соответствует и числу
, т.е. всем числам вида
Тогда получаем:
Рис. 10 Рис.11 36
Подчеркнем неоспоримую важность пятого типа задач. Фактически мы приучаем школьников к решению
простейших тригонометрических уравнений: в примере 6 речь идет об уравнении
, а в примере 7 – об уравнении
√
Для понимания сути дела важно научить школьников решать уравнения видов по числовой окружности, не торопясь переходить к формулам ( )
Опыт показывает, что если первая стадия (работа на числовой окружности) не отработана достаточно надежно, то вторая стадия (работа по формулам) воспринимается школьниками формально, что, естественно, надо преодолевать. Аналогично примерам 6 и 7 следует найти на числовой окружности точки со всеми «главными» ординатами и абсциссами (
√
√
) В качестве особых сюжетов уместно выделить следующие: ( ) (
) (
) (
Замечание 1. В пропедевтическом плане полезна подготовительная работа к теме «Длина окружности» в курсе геометрии 9-го класса. Важный совет: в систему упражнений следует включить задания типа предложенного ниже. Единичная окружность разделена на четыре равные части точками дуга разделена точкой пополам, а дуга разделена точками на три равные части (рис.12). Чему равны длины дуг (считается, что обход окружности осуществляется в положительном направлении)? Рис. 12 37
Пятый тип задач включает в себя и работу с условиями типа
Это
означает, что
к решению
простейших тригонометрических неравенств мы также «подбираемся» постепенно. Весь изложенный выше материал рекомендуется изучать в течение пяти уроков и лишь на шестом уроке следует ввести определения синуса и косинуса как координат точки числовой окружности. При этом целесообразно снова порешать все типы задач со школьниками, но уже с использованием введенных обозначений, предлагая выполнить такие, например, задания: вычислить
решить уравнение
решить неравенство и т.д. Подчеркнем, что на первых уроках тригонометрии простейшие тригонометрические уравнения и неравенства являются не целью обучения, а используются в качестве средства для усвоения главного – определений синуса и косинуса как координат точек числовой окружности.
Пусть числу соответствует точка числовой окружности. Тогда ее абсцисса называется косинусом числа и обозначается , а ее ордината называется синусом числа и обозначается . (рис.13). Из этого определения сразу можно установить знаки синуса и косинуса по четвертям: для синуса , для косинуса . Посвящать этому целый урок (как это принято) вряд ли целесообразно. Не следует заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое запоминание, заучивание – это насильственный прием, которому учащиеся, жүктеу/скачать 2,7 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|