Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики
Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми
жүктеу/скачать 2,7 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример 1.
- Спасибо за урок!
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями Изложенные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются. Пример 1. Найти корни уравнения
| | , удовлетворяющие условию
Решение. | | 83
| | ( | |) ; 0 ) cos sin 2 ( cos , 0 cos ; 0 ) cos
sin 2 ( cos , 0 cos x x x x x x x x
. , 2 1 , 0 cos
; , 2 1 , , 2 , 0 cos Z m m arctg x x Z k k arctg x Z n n x x
Определим решения систем с помощью числовой окружности. . , 2 2 1 , , 2 Z k k arctg x Z n n x
. , 2 2 1 Z m m arctg x
Условию x [0; 2 ] удовлетворяют числа , 2
,
3 x
2 1
x (для первой системы) и 2 1 arctg x (для второй системы).
}.
1 ; 2 1 ; 2 3 ; 2 { :
arctg Ответ
Пример 2. Найти все решения уравнения , 0 3 cos
2 2 sin 1 x x принадлежащие отрезку ]. 2
; [
ОДЗ: cos 3x ≥ 0;
; ,
2 3 2 2 Z n n x n
84
; , 3 2 6 3 2 6
n n x n
Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге: Отрезку
] 2 3 ; [
принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно ]. 2 3 ; 6 7 [ .
Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку: 1 + sin 2x = 2cos 2 3x ; sin 2x = cos 6x; sin 2x - cos 6x=0; ; 0
6 2 sin( 2 sin
x x
; 0 ) 4 4 sin( ) 2 4 cos( 2 x x
; 0 ) 4 4 sin(
) 4 2 cos( 2 x x
. 0 ) 4 4 sin( , 0 ) 4 2 cos( x x
. , 4 4 , , 2 4 2 Z k k x Z n n x . , 4 16 , 2 8 3
k k x n x
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.
Из первой серии: ; , 2 3 2 8 3 6 7 Z n n
; , 36 12 9 28
n n
. , 27 12 19 Z n n
Следовательно n=2, то есть . 8 11
Из второй серии: ; , 2 3 4 16 6 7
n k
; , 72 12 3 56
n n 85
. , 69 12 53
n n
Следовательно n=5, то есть . 16 21
}.
21 ; 8 11 { :
, 3 ) 2 2 7 sin(
) 2 ( cos 10 2 x x которые удовлетворяют условию ]. 12
; 3 2 [
– –
; 4
sin 2 x
; 2 1 sin
; , ) 6 ( ) 1 ( , , 6 ) 1 (
m m x Z k k x m k
С помощью числовой окружности получим: ; , 6 Z n n x Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: ; , 12 19 6 3 2
n n
; , 19 12 2 8 Z n n
. , 17 12 10
n n
Следовательно n=0 или n=1, то есть 86
. 6 7 , 6
x
Из второй серии: ; , 12 19 6 3 2 Z n n
; , 19 12 2 8 Z n n
. , 21 12 6 Z n n
Следовательно n=0 или n=1, то есть . 6 5 , 6
x
}. 6 7 ; 6 5 ; 6 { : Ответ
Сегодня на уроке мы систематизировали умения и навыки по применению трех способов отбора корней в тригонометрических уравнениях. За урок вы получаете следующие оценки:…………………
№1707(а, г) №1709(б, в) №1716
Спасибо за урок! 87
Система тренировочных упражнений по подготовке к ЕГЭ (С1, В7) В7. 1. Найдите значение выражения: √ (
). Решение: √ (
) √
(
) √
√
. Ответ: -12
.
(
)
. Ответ: -14. 3. Найдите значение выражения: ( ) (
( )
( )
. Ответ: 2.
, если √
(
). Решение: Так
как
( √
)
(
)
. С учетом того, что (
)
. Ответ: 1. 5. Найдите . Решение: Упростим выражение (
).
Находим значение выражения ( ( )
) ( ) . Ответ: 22,8.
88
С1. 1. а) Решите уравнение
( ) . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (
].
Решение а) Так как ( ) ( ) , то данное в условии уравнение преобразуется следующим образом:
(
) {
{
√ . Корнями уравнения являются
где . Корнями уравнений
√ являются соответственно
. Заметив, что объединением последних двух серий корней являются
, получаем окончательный ответ в пункте а):
. б) Для точек
имеем соответственно неравенства:
. Значит, при ни одна из этих точек не принадлежит промежутку (
]. При для точек
получаем соответственно значения:
, из которых промежутку (
] не
принадлежит лишь
. Таким образом, в пункте б) приходим к ответу
. 2. а) Решите уравнение (
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [
).
Решение. 89
а) Так как
(
)
(
) . Корни уравнения: ( )
б) Корни уравнения изображаются точками A и B, а корни уравнения
– точками C и D, промежуток [
) изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: ,
. Ответ: а) ( )
. б)
. Другие решения пункта б) б) Корни,
принадлежащие промежутку [
), отберем по графику
. Прямая (ось Ox) пересекает график в единственной точке ( ), абсцисса которой принадлежит промежутку [
).
Прямая
пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат [
) (см. рис.). Так как период функции равен , то эти абсциссы равны, соответственно,
. 90
В промежутке [
) содержатся три корня:
. б) Пусть . Подставляя получаем . Промежутку [
) принадлежит только
. Пусть
( )
. Подставляя получаем: (
) (
) (
)
(
) (
) . Промежутку [
) принадлежат только
. Промежутку [
) принадлежат корни:
. б) Отберем корни, принадлежащие промежутку [
).
Пусть . Тогда
. Корень, принадлежащий промежутку [
): . Пусть
. Тогда
. Корень, принадлежащий промежутку [
):
91
Пусть
. Тогда
. Корень, принадлежащий промежутку [
):
. Промежутку [
) принадлежат корни:
. жүктеу/скачать 2,7 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|