Кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ шамалар. Үзіліссіз кездейсоқ

_{х } 3  7 1113 16
5
 10
_{у } 2  5  8  9 12
5
 7,2 .

Осы қарастырылған мысалдан мынадай қорытынды жасауға болады:

1. 
   математикалық күтім – кездейсоқ шама мәндерінің арифметикалық ортасына жақын орналасатын шама:
   

М ( Х )  х , М (У )  у ,

2. 
   кездейсоқ шамалардың мәндері өспелі тізбек болған жағдайда математикалық күтімнен кіші кездейсоқ шаманың мәндері оның үлестірім заңы кестесінің сол жақ бөлігінде, үлкен мәндері оң жақ бөлігінде орналасады.
   

4. 
   мысал. 10 адам жұмыс істейтін компанияда жалақы төмендегідей бөлінген: екі адам 20 мың теңге, үш адам 40 мың теңге, төрт адам 80 мың теңге, бір адам 100 мың теңге алады. Ай сайын жалақыға 580 мың теңге бөлінеді. Барлық жұмыскерге бірдей еңбекақы төлесе, әрқайсысы айына қанша жалакы алған болар еді?
   

Шешуі. Жалақы мөлшері кездейсоқ шама болсын. Жалақының үлестірім заңын жазамыз:

20 мың	40 мың	80 мың	100 мың
2 10	3 10	4 10	1 10

Компаниядағы барлық адамдарға бірдей жалақы төленсе, олардың әрқайсысы айына 58 мың теңге алған болар еді. Бұл – орташа айлық жалақының шамасы.
Математикалық күтім осы орташа жалақының шамасын беруі керек.

М ( Х )  20000  ²
10
 40000  ³
10
 80000  ⁴
10
100000  ¹
10
 58000 .

Демек, орташа жалақының шамасы математикалық күтімге тең.
Жауабы: 58 мың теңге.

Математикалық күтімнің қасиеттері:

1. 
   егер С – тұрақты, Х – кездейсоқ шама болса, онда
   

М(С) = С, (3)
М(СХ) = СМ(Х), (4)

2. 
   Х, Y, Z – кездейсоқ шамалар болса, онда M(X+Y+Z) = M(X)+V(Y)+M(Z). (5)
   

5. 
   мысал. Үшінші мысалда есептелген Х және Y кездейсоқ шамаларының математикалық күтімін қолданып, 1) М(2Х), 2) М(4Y), 3) М(5Х-3Y) мәндерін табайық.
   

Шешуі. 3-мысалдың шешуі бойынша М(Х)=10,3; М(Y)=7,4. Онда (4) және (5) формулаларды қолдансақ:
1) M (2X )  2  M (X )  2 10,3  20,6 ;
2) M (4Y )  4  M (Y )  4  7,4  29,6 ;
3) M (5X  3Y )  5M (X )  3(Y )  510,3  3 7,4  51,5  22,2  29,3 .
Жауабы: 1) 20,6; 2) 29,6; 3) 29,3.

2. Дисперсия

Дисперсияның белгіленуі: D(X).
Дисперсияны есептеу формуласы:
D( X )  M X  M X ²

(6)

Дисперсияның қасиеттері:
1) егер С – тұрақты, Х – кездейсоқ шама болса, онда


D(C)  0

(7)

D(CX) = C²D(X); (8)
2) D(X) = M(X²) – M²(X); (9)
3) Х және Y кездейсоқ шамалар болса,
D(X + Y) = D(X) + D(Y) (10)

6. 
   мысал. Берілген кестені қолданып Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын есептейік:
   

Х	5	7	10	15
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Шешуі. Алдымен математикалық күтімін табамыз.
М (Х )  5 0,2  7  0,5 10  0,2 15 0,1  8 .
Х  М Х ² шамасының үлестірім заңын құрайық. Ол үшін х₁-ді есептеп көрсетейік:
Х  М Х ²  5  8²   3²  9 . Тура осылай есептеп, х₂=1, х₃=4, х₄=49 аламыз.

Х  М Х 2	9	1	4	49
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Демек, (6) формуланы қолданып, дисперсияны табамыз:
D(X )  M X  M (X )²  9  0,2 1 0,5  4  0,2  49  0,1  8
Жауабы: 8.

3. Орташа квадраттық ауытқу

Дисперсия ұғымы – квадрат өлшемді ұғым, оның өлшемі кездейсоқ шаманың квадратына тең.

Орташа ауытқудың белгіленуі:  ( Х )

Орташа ауытқуды есептеу формуласы:  ( Х ) 
Орташа квадраттық ауытқудың өлшемі – сызықтық өлшем.
(11)

7. 
   мысал. Жоғарыдағы мысалдағы кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуын есептейік.
   

Шешуі. Есептеу бойынша D(X) = 8. Енді (11) формуланы қолданамыз:

Жауабы: 2
 ( Х ) 
  2

Енді кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасын беретін математикалық күтім, дисперсия, орташа квадраттық ауытқуды есептеуге мысал қарастырайық.

8. 
   мысал. Х және Y кездейсоқ шамалардың үлестірімдік заңдары төмендегі кестелерде берілген.
   

Х	3	5	8	10	12
Р	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

Y	2	5	8	12	14
Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

1) М(Х), М(Y). 2) D(X), D(Y). 3)  ( Х ) , (Y). 4) D(3X - 2Y) мәндерін есептейік.

Шешуі.

М (Х )  3 0,1 5 0,3  8 0,3 10  0,2 12  0,1  7,4
М (У)  2 0,1 5 0,2  8 0,3 12 0,3 14 0,1  8,6

Дисперсияларды анықтау үшін келесі кестелерді толтырамыз:

Х2	9	25	64	100	144
Р	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

3)  ( Х ) 
 (У ) 

D( у) 
 2,7
13,44  3,7

4) D(3X  2Y )  9D(X )  4D(Y )  9  7,24  4 13,44  65,16  53,76 118,92 .
Жауабы: 1) 7,4; 8,6; 2) 7,24; 13,44; 3) 2,7; 3,7; 4) 118,92.

Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерінің саны шектеулі болса немесе тізбек түрінде жазылса, оны дискретті кездейсоқ шама деп атайды. Дискретті кездейсоқ шама

– бөлек-бөлек оқшауланған мәндер қабылдайтын кездейсоқ шама. Кездейсоқ шаманың мәндер жиыны қайсыбір сан аралығымен беттессе, оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды. Мысалы, фермадағы сиырлар сүтінің майлылығы 3% бен 5% аралығында кез келген мәнді қабылдауы мүмкін және ол үздіксіз кездейсоқ шама.

4. Биномдық заңмен үлестірілген кездейсоқ шама.

Х кездейсоқ шамасының мүмкін мәндері 0, 1, 2, ..., п-ге тең болып, сәйкес ықтималдықтар Бернулли формуласымен

p  P (k)  C⁰ p^kq^nk ,
k  0,1,2,...,n;
q  1 p
(1)

k n n
түрінде анықталса, Х кездейсоқ шамасын биномдық заңмен үлестірілген деп атайды. Бұл заңдылықтағы ықтималдықтар Ньютон биномындағы
p  qⁿ  Cⁿ pⁿ  C^n1 p^n1q  C^n2 p^n2q²  ...  C^k p^kq^nk  ...  C⁰qⁿ
n n n n n
әрбір қосылғышпен анықталса, оны биномдық заң деп атаған. Сонымен, биномдық заң былай жазылады:

Х	0	1	...	k	...	п
рі	C0qn  qn n	C1 pqn1 n	…	Ck pkqnk n	…	Cn pn  pn n

9. 
   мысал. а) Нысанаға тәуелсіз 4 рет оқ атылды және әр атқанда нысанаға тигізу ықтималдығы р = 0,8. а) нысанаға тиген оқтар санына тең Х кездейсоқ шамасының (КШ)
   

үлестірімдік заңын жазу керек; ә) 1  Х  3 және табу керек.
X  3 оқиғаларының ықтималдықтарын

Шешуі. а) кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері Х: 0, 1, 2, 3, 4. Оларға сәйкес ықтималдықтар Бернулли формуласы бойынша анықталады:
р  Р (0)  С⁰  0,8⁰  0,2⁴  0,0016;
0 4 4
р  Р 1  С¹  0,8¹  0,2³  0,0256;
1 4 4
р  Р 2  С ²  0,8²  0,2²  0,1536;
2 4 4
р  Р 3  С³  0,8³  0,2¹  0,4096;
3 4 4
р  Р 4  С ⁴  0,8⁴  0,2⁰  0,4096.
4 4 4
Сонымен, Х кездейсоқ шамасының үлестірімділік заңы былай жазылады:

хі	0	1	2	3	4
рі	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096

ә)
Р1  Х  3  р₁  р₂  р₃  0,0256  0,1536  0,4096  0,5888.
РХ  3  p₄  0,4096.

5. 
   
   жүктеу/скачать 51,84 Kb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: