Коммерциялық емес акционерлік қоғам

18 

Мысал. 

  векторлық  өрісінің  M

0

(1;2;1) 

нүктесіндегі циркуляциясының ең үлкен тығыздығын есептеңіз. 

 

Шешуі: 

  векторлық  өрісінің  М

0

  нүктесіндегі  циркуляциясының  ең 

үлкен  тығыздығы  ротор  бағытымен  анықталады,  ал  сандық  мәні  оның 

модуліне тең.  

Роторды есептейік: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторлық өрістің циркуляциясының ең үлкен тығыздығы: 

 

 

 

роторының бағытында анықталады, ал сандық мәні тең: 

 

. 

 

Егер  W  аймағында  орналасқан  кезкелген  түйық  қисықты  сол  аймақтан 

шықпай  үздіксіз  дифференциалдау  арқылы  бір  нүктеге  айналдыру  болатын 

болса, онда аймағы бірбайланысты делінеді. 

 

Теорема. 

Бір 

байланысты 

W 

аймақта 

берілген 

үздіксіз 

дифференциалданатын 

  векторының  өрісі  потенциалды  болуы  үшін  сол 

аймақта: 

 

 

болуы қажетті және жеткілікті. 

 

Ротор қасиеттері: 

1. Егер 

 болса, онда: 

 

, 

яғни 

19 

 

 

2. 

 (

), яғни: 

 

. 

 

3. 

,  

 

мұнда 

скалярлық функция, яғни: 

 

                           (4.3)

 

 

4. 

, яғни: 

 

. 

 

Бетке  түрғызылған  нормальдің  оң  бағытынан  қарағанда  S  бетті  жектеп 

тұрған  L  жиектеме  (контуры)  бойымен  айналу  сағат  тіліне  қарсы  бағытта 

орындалатын (жазық аймақ айналу кезінде сол қолда қалып отыратын) болса, 

контур және оған кептелген бет сәйкестіріліп бағдарланылған дейміз. 

Теорема.  Векторлық  өрістің  L  контуры  бойындағы  циркуляциясы  сол 

өрістің роторының L контурына берілген S беті арқылы өтетін ағынына тең 

 

 

 

. 

 

 

Бұл  формула  Стокс  формуласы  деп  аталады.  Стокс  формуласының 

векторлық жазылуы: 

 

, 

 

мұнда 

 - екінші текті беттік интеграл, 

 - 

 мен 

 

векторларының скаляр көбейтіндісі. 

Векторлық өрістің роторы «набла» арқылы жазылуы: 

 

20 

. 

 

 

Мысал. 

 радиус- векторының роторын есептеу керек. 

Шешуі. Есептің берілгені бойынша 

, онда:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мысал.  Центрлік  симметриялы 

  өрісінің  роторын  есептеп 

табу керек. 

Шешуі. (4.3) формулаға сәйкес:  

 

. 

 

 болғандықтан, аламыз: 

 

. 

 

Мысал.  Айналатын  абсолют  қатты  дененің  жылдамдықтары  өрісінің 

роторы мен циркуляциясын есептеу керек. 

Шешуі.  Айталық  V  тұрақты    бұрыштық  жылдамдықпен  айналатын 

дененің жалпы жылдамдығы болсын, 

-ден 

 осі бойындағы жоғары қарай 

бағытталған,  ол  сандық  мәні  бұрыштық  жылдамдық 

  тең  векторды 

белгілелік, яғни 

. 

Вектор  V  радиусы 

  центрі 

  осінің 

  нүктесіндегі  шеңберге 

жанамамен бағыттас болғандықтан 

, 

, ал  

 

, 

 

21 

, 

 

. 

Ендеше:  

, 

сонда: 

 

 

. 

 

Eнді  радиусы 

 

шеңбер  бойымен  циркуляцияны 

есептейміз. Шеңбердің параметрлік теңдеуі: 

 

     

. 

Сондықтан: 

 

 

 

. 

 

Сонымен: 

. 

Демек: 

. 

 

 

Мысал. 

  векторлық  өрісінің  параметрлік 

түрде берілген L қисығы бойымен жұмысын есептеу керек, мұнда: 

 

 

 

 

22 

Шешуі:  векторлық  өрістің  L  қисығы  бойымен  жұмысы  координаталық 

түрде жазылған екінші текті қисықсызықты интегралмен есептеледі: 

 

. 

 

Онда 

 

 

 

 

 

 

 

. 

 

 

Жауабы:  векторлық  өрісінің  параметрлік  түрде  берілген  L  қисығы 

бойымен алынған жұмысы А=4. 

 

жүктеу/скачать 1,79 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: