Основное уравнение задачи механики уплотняемой упругой земляной среды

266 
где    – коэффициент пористости; 
cp
– средний коэффициент пористости;   – объемный вес воды; 
)
( p
k
– коэффициент фильтрации; р – давление поровой жидкости; х,у – координаты. 
Изменение коэффициента пористости   в зависимости от координат х,у  и времени t согласно 
[2] представим в виде 
     
 
 
   
)
,
,
(
1
)
,
(
)
,
,
(
0
0
t
y
x
t
y
a
t
y
x
.   
 
    
     (2) 
Здесь коэффициент сжимаемости а
0
  в  отличие  от  [2],  зависит  от глубины   и  времени;    – 
коэффициент бокового давления; 
)
,
,
(
t
y
x
– сумма главных напряжений, которая зависит также от 
пространственных координат и времени. 
В дальнейшем в качестве расчетной модели выбираем основную модель В.А.Флорина [2]. 
Согласно этой модели, напряженное состояние грунтовой массы математически можно выразить 
следующим образом: 
     
 
 
 
)
(
*
*
p
p
ij
ij
ij
,  
 
 
 
     (3) 
где     
ij
  –  напряжение  в  скелете  грунта  для  момента  времени  t; 
*
ij
  –  то  же  самое  в 
предположении мгновенной консолидации; р и р
*
 – соответственно давления в поровой жидкости 
для момента времени t и стабилизированного состояния грунта; 
ij
– символ Кронекера. 
На основании (3) сумму главных напряжений в скелете грунта представим в виде  
                           
)]
,
,
(
)
,
,
(
[
 
2
)
,
(
)
,
,
(
*
*
t
y
x
p
t
y
x
p
y
x
t
y
x
. 
 
 
    (4) 
Подставив выражение (4) в (2), получим 
    
)]
,
,
(
1
)
,
(
2
)]
,
(
2
)
,
(
[
1
)
,
(
)
,
,
(
0
*
*
0
0
t
y
x
p
t
y
a
y
x
p
y
x
t
y
a
t
y
x
. 
    (5) 
Далее, имея в виду (5), равенство (1) приводим к виду 
    
  
y
p
p
k
y
x
p
p
k
x
a
p
a
a
t
p
cp
)
(
)
(
2
)
1
)(
1
(
0
0
0

, 
 
    (6) 
где  
0
0
0
a
a
a
; функция р зависит от пространственных координат и времени. 
Нелинейную функцию 
)
( p
k
, входящую в (6) представим в виде 
    
 
 
 
n
j
j
j
j
p
k
p
k
0
)
(
,   
 
 
 
    (7) 
где    – малый параметр (
1
0
);  
j
k
 – заданные постоянные. 
Тогда уравнение (6) получим в виде следующего равенства: 
n
i
i
i
i
j
j
cp
V
p
p
y
p
x
p
ip
k
a
p
C
p
a
a
t
p
1
2
2
2
1
0
0
2
)
2
(
0
0
)
1
)(
1
(

.  (8) 
Здесь  
2
2
2
2
2
y
x
,   
0
0
)
2
(
2
)
1
)(
1
(
a
k
C
cp
V
. 
Если функцию 
)
,
,
(
t
y
x
p
 представим в виде 
    
 
 
 
0
)
,
,
(
)
,
,
(
i
i
i
t
y
x
p
t
y
x
p
,   
 
 
     (9) 
то подставив (9) в (8), затем в полученном выражении приравнивая в обоих частях коэффициенты 
при  одинаковых  степенях  параметра  ,  для  определения  неизвестных  функций 
)
,
,
(
t
y
x
p
i
, 
получим следующую систему дифференциальных уравнений: 

267 
    
 
   
         
i
i
V
i
i
F
p
C
p
a
a
t
p
2
)
2
(
0
0

;   
n
i
,
0
, 
 
 
  (10) 
где     
 
  
        
)
2
(
*
*
0
0
0
p
a
a
F

; 
 
 
 
 
  (11) 
    
 
 
         
0
2
0
1
2
0
2
0
1
1
p
p
k
y
p
x
p
k
F
; 
 
               (12) 
 
               
2
0
2
0
0
2
2
1
2
1
1
2
2
y
p
x
p
p
k
y
p
x
p
k
F
 
                              
0
2
2
0
2
1
2
0
1
0
2
1
1
2
p
p
k
p
p
k
p
p
k
; 
 
 
 
   (13) 
                          
2
1
2
1
0
2
2
2
2
2
1
3
2
y
p
x
p
p
k
y
p
x
p
k
F
 
                              
2
2
0
1
1
2
1
1
0
2
2
1
2
0
2
0
1
2
2
p
p
k
p
p
k
p
p
k
y
p
x
p
p
k
 
                              
0
2
3
0
3
0
2
2
1
2
1
2
2
0
2
3
2
2
p
p
k
p
p
k
p
p
k
; 
 
 
   (14) 
Таким  образом,  при  изменении  во  времени  и  пространственных  координат  модули 
деформации  грунтов  решение  основного  уравнения  механики  уплотняемых  сред,  обладающих 
упругим свойством, сводится к решению системы уравнений (10) при (11)-(14) выражений. 
2. Решение задачи при постоянном модуле деформации 
Система уравнений (10) в этом случае приводится к виду 
                                      
i
i
V
i
F
p
С
t
p
2
)
2
(
,    i = 0,1,2,….       
    
             (15)  
Функции 
i
F
 в зависимости от i  имеют вид (11)-(14). 
Теперь  решим  систему  уравнений  (15)  применительно  к  ограниченной  области 
уплотнения. Для этого рассмотрим грунтовую среду с упругим свойством в виде прямоугольника 
с  мощностью  h  и  длиной  2.  На  части 
a
x
  верхней  водопроницаемой  поверхности  этого 
прямоугольника приложена равномерно  распределенная нагрузка с интенсивностью q. Кроме того 
нижний  слой  и  боковые  поверхности   

x
  данного  прямоугольника  водонепроницаемы. 
Расчетная схема нагруженного грунтового прямоугольника показана на рисунке 1. 
 
 
   
                                                              
   
 
 
 
 
 
 
 
 
      
  
 
                                                     
 
 
 
 
 
                                                                                                                                                     
Рис. 1.  Схема уплотнения грунта при сплошной нагрузке 
 
Граничные условия для момента времени t > 
1
 применительно к указанной расчетной схеме 
будет иметь вид:  
 
 
а 
а 
 
 
h 
у 
х 
О 

268 
                            
0
l
x
x
p
;     
0
)
,
,
(
)
2
(
)
2
(
t
y
x
p
y
p
,         
 
       (16)   
где   
)
2
(
)
2
(
,
 – одновременно не равны нулю. Однако, если  у = 0, то 
0
)
2
(
, если  у = h, то 
0
)
2
(
.  
Начальное условие данной задачи представляется в виде:  
                                        
*
*
1
2
)
,
,
(
p
y
x
p
нач
.                 
 
 
       (17) 
 Оно исследовано Я.А. Мачеретом  [3] и получено им в виде следующей расчетной формулы  
                              
1
cos
sin
2
)
,
(
m
нач
x
m
h
m
ch
y
m
ch
m
a
m
q
l
aq
y
x
p




 .       
                   (18)  
Следует  заметить,  что  ряд  (18)  равномерно  сходится  и  допускает  почленное  
дифференцирование. 
Если  решение  задачи  относительно  порового  давления  представим  в  виде  (9),  то  для 
непрерывных  функций 
....)
3
,
2
,
1
,
0
(
)
,
,
(
i
t
y
x
p
i
  граничные  (16)  и  начальное    (17)  условие 
соответственно приводятся к виду 
              
0
l
x
i
x
p
;   
,
0
  
,
 
,
0
  
,
0
 
  
0
)
,
,
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
h
y
при
y
при
t
y
x
p
x
p
i
     
   (19) 
                   
0
)
,
,
(
....
)
,
,
(
)
,
,
(
,
2
)
,
,
(
1
1
2
1
1
*
*
1
0
y
x
p
y
x
p
y
x
p
p
y
x
p
i
.      (20) 
Итак,  требуется  определить  давление  в  поровой  жидкости   
)
,
,
(
t
y
x
p
,  сумму  главных 
напряжений 
)
,
,
(
t
y
x
 и осадок слоя грунта 
)
,
( t
x
S
 применительно к расчетной схеме, показанной 
на  рисунке  1,  когда  непрерывные  функции 
)
,
,
(
t
y
x
p
i
  (i=0,1,2…)  удовлетворяют  системе 
уравнений (15) при (11) - (14) и граничным (19), начальным (20) условиям. 
Для  начала  рассмотрим  уравнение  (15)  при    i  =  0.  Решение  его,  удовлетворяющее 
граничным условиям, представим в виде 
                          
)
(
0
2
0
2
0
1
2
)
2
(
sin
)
1
2
)(
1
(
2
)
,
,
(
t
C
k
jk
j
jk
V
e
j
a
j
k
h
q
t
y
x
p

 
                                         
y
h
k
x
j
2
)
1
2
(
cos
cos

,                                                          (21) 
Зная  (21),  можно  определить  непрерывную  функцию 
)
,
,
(
1
t
y
x
p
.  Для  этого  используем 
систему уравнений (15) и граничные (19), начальные (20) условия при  i = 1. Уравнение (15) при  i 
=  1  является  неоднородным  дифференциальным  уравнением.  Решение  его,  удовлетворяющее 
условию (19), представим в виде 
                                
)
,
,
(
1
t
y
x
p
=
0
0
2
2
)
1
2
(
cos
cos
)
(
 
2
r
v
ij
y
h
j
x
i
t
P
h
q

,                       (22) 
где    
)
(t
p
ij
 – неизвестная функция, зависящая только от t. Ее после некоторых математических 
преобразований  получим в следующем виде 
                                                   
t
t
C
ij
ij
d
e
Q
t
p
rv
V
1
2
)
2
(
)
(
)
(
)
(
, 
 
 
    (23) 

269 
где         



0 0
1
2
)
1
2
(
cos
cos
)
,
,
(
4
h
ij
dxdy
y
h
j
x
i
t
y
x
F
h
Q
. 
 
    
Аналогичным  образом  определяются  и  другие  функции 
)
,
,
(
t
y
x
p
i
,  в  частности,  для 
функции 
)
,
,
(
t
y
x
p
i
 имеем  
         
0
0
0 0
)
(
1
2
)
2
(
2
)
1
2
(
cos
cos
)
,
,
(
 
 
4
)
,
,
(
j
k
t
h
t
C
i
i
ydxdy
h
k
x
j
d
e
y
x
F
h
t
y
x
p
V



     
                        
y
h
k
x
l
i
2
)
1
2
(
cos
cos
,                                                                               (24) 
где функция 
)
,
,
(
y
x
F
i
 зависит от  
1
1
0
,...,
,
i
p
p
p
 и от их производных по x и y.  
Зная  функции   
)
,
,
(
),...,
,
,
(
),
,
,
(
1
1
0
t
y
x
p
t
y
x
p
t
y
x
p
,
  решение  исследуемой  задачи 
относительно порового давления можно записать в виде:   
      
y
h
k
x
j
e
j
j
k
h
q
t
y
x
p
j
k
t
C
jk
k
jk
V
2
)
1
2
(
cos
cos
sin
)
1
2
(
)
1
(
 
 
2
)
,
,
(
0
0
)
(
2
2
1
2
)
2
(


 
 
          
0
0
0 0
0
0
3
3
2
2
1
1
)
,
,
(
...
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
 
 
4
j
k
t l h
y
x
F
y
x
F
y
x
F
y
x
F
h

 
 
          
y
h
k
x
j
dxdy
y
h
k
x
j
2
)
1
2
(
cos
cos
2
)
1
2
(
cos
cos


, 
         
 
   (25) 
 где 
j
F
F
F
,
,
,
2
1

  являются  функциями 
1
1
0
,...,
,
i
p
p
p
  и  от  их  производных  по  x  и  y,  причем 
функции 

,
,
,
3
2
1
F
F
F
 находятся соответственно из выражений (12)-(14). 
Следует  заметить,  что  для  случая  мгновенного  приложения  нагрузки,  т.е.  при 
1
t
  из  (25) 
получаем выражение 
               
y
h
k
x
j
j
j
k
h
q
y
x
p
j
k
k
j
k
2
)
1
2
(
cos
cos
sin
)
1
2
(
)
1
(
2
)
,
,
(
0
0
2
 
2
1


.                (26) 
Нетрудно  убедиться  в  том,  что  сумма  ряда  (26)  совпадает  с  выражением  давления  в  поровой 
жидкости,  полученным  Я.А.Мачеретом  [3],  как  и  должно  быть.  Из  (25)  также  следует,  что  значения 
порового давления стремятся к нулю для моментов времени 
t
. 
Таким  образом,  полученное  решение  (18)  исследуемого  дифференциального  уравнения 
(3.1)  при 
const
a
0
  позволяет  определить  изменение  давления  в  поровой  жидкости  для  любой 
точки рассматриваемой конечной области уплотнения двухфазного грунта, обладающей упругим 
свойством деформирования. 
После  определения  давления  в  поровой  жидкости  можно  легко  вычислить  сумму  главных 
напряжений в скелете грунта, которая дает возможность находить вертикальные перемещения верхней 
поверхности  уплотняемого  грунтового  массива,  иначе  говоря,  прогнозировать  скорость  осадок 
оснований сооружений. 
 
Литература 
1.
 
Флорин В.А. Расчеты оснований гидротехнических сооружений.- М.: Госстройиздат, 1948. 
2.
 
Флорин В.А. Теория уплотнения земляных масс.- М.: Госстройиздат, 1998. 
3.
 
Мачерет  Я.А.  Распределение  мгновенных  напоров  и  давлений  в  грунтовой  массе,  вызванных 
мгновенной нагрузкой //Тр. ВИОС.-1934, №4. 
 

270 
УДК 665.644 
 
ПРОИЗВОДСТВА ЗИМНЕГО ДИЗЕЛЬНОГО ТОПЛИВА И ПАРАФИНОВ ИЗ 

жүктеу/скачать 7,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: