3-теорема. Егер симметриялық ядро \\K(x,s)\ ds < А шартын қанағаттан-
а дырса, онда (83) қатары бірқалыпты жинақты болады.
Дәлелдеуі. Жоғарыдағы (78) теңсіздігін пайдаланып, (83) қатарының қалдық
бөлігін бағаласақ,
”І Ч
w
к-п К п + р IU І> / 7 ) 2
( у З
п + р S Z Һ Ц . Ц ғ - ± А ? . һ і к = п к ~ п Л / г к~п п + р Егер
қатарының жинақтылығын пайдалансақ, сонғы теңсіздіктен бар-
к — п лық п> N жэне V/? > 0 үшін
і
к = п Л к екенін көреміз, бұдан Коши белгісін ескеріп, (82) қатарының бірқалыпты жинақты
екенін дэлелдейміз.
Гильберт-Ш мидт теоремасының салдары. 1-салдар. Қайталанатын K 2(x,s) ядросы меншікті функциялар \(рк{х)} жүйесі
бойынша
K 2(x,s) = j: ^ ( p k {х)(рк (.v)
(84)
к і
Ак түріндегі қатарға жіктеледі.
Расында, қайталанушы ядро анықтамасы бойынша
К 2(х,s ) = j К (х,t ) K ( t,s ) d t. a Егер K ( x , s ) е L 2( D ) болса, онда 2-теорема бойынша
ос
\
1
K 2(x ,s) = 1 -К k - 1
\ A k 93
K 2(x,s ) үшін алынған жіктелудің оң жағындағы һк-ны оның мэнімен ауыс-
тырсақ, (84) тендігі шығады.
2-салдар. Ядроның резольвентасы сол ядроның меншікті функциялары
бойынша қатарға жіктеледі:
R(x,s;A)=
