Курсы оқу құралы
жүктеу/скачать 10,43 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- R(x, s; A) = X (Рк ( х) + A X ^ (s) +... ■+ Я"1X ($) + ...= * = і
- a (p2{x)(p2{s) A, z n =I f—г
- (р{х) = A\K(x,s)(p(s)cls + / (х) u ь теңдеуінің шешімін анықтайық. g(x) = J А ^ х , ^ ) ^ ) ^ деп белгілейік. Егер а
- Бұл өрнектің екі жағындағы q>k (х) функцияларының коэффиценттерін салыс- тырып
- Шмидт формудасын аламыз. Егер Л = Лт рангісі г еселі меншікті мэн болса, онда CM,Cm+„...,Cm+r_
- Егер q(x) = h(x) болса, онда J(h) = J J. K(x,s)h(s)h{x)dsdx = X - у К .
- 4-теорема.
| • (рк (х) ■
<рк ( j ). п=\ А к — 1 Расында А -ның кіші мәндері үшін R(x,s;A) = £ A nlK n(x ,s ) п 1 екенін дэлелдегенбіз, ал қайталанатын ядроның жіктелу қасиеті бойынша форму- лаларды пайдалансақ, R(x, s; A) = X (Рк (х)<рк (s) + AX ^ <рк {х)срк (s) +... ■+ Я"'1X <рк (х)<рк ($) + ...= * = і Ак * = і А к * = і Ак л к *=і A. — A < A ^ a (p2{x)(p2{s) A, z n =I f—г у А я V ' л Л=1 + ... — Біртекті емес симметриялық ядролы (р{х) = A\K(x,s)(p(s)cls + / (х) u ь теңдеуінің шешімін анықтайық. g(x) = J А ^ х , ^ ) ^ ) ^ деп белгілейік. Егер а оо (ріх)е L2(a,b) болса, онда g(x) = Ү С к(рк(х), мұндағы, Ск- тұрақгы шамалар. Сон- *=і дықган ф ) = f ( x ) - A Z C k к=і ( 86 ) (85) теңдеуіндегі (р{х) функциясы (86) теңдеуінің оң жағымен ауыстырсақ, f { x ) + Аү^Ск(рк іх) = f i x ) + А \Кіх, s) k і Д а ) + я £ с 40>4(5)иу, *=і бұдан W = j K i x , s ) f i s ) d s + ЯХС4\Kix,s)(pk is)ds = k-\ = f K ix, ^) f i s ) d s + A £ Ck *=1 A немесе 94 (87) І С к (х) = f K(x ,s )f(s)d s = үһ-( рк (x). * Ч Л к а к \ Л к Бұл өрнектің екі жағындағы q>k (х) функцияларының коэффиценттерін салыс- тырып, с » = І 4 я ( Л ’; Л '- = и - ) екенін апамыз. Ск (к = 1,2,...) коэффиценттері мэндерін (86) теңдігіне қойып, V(x) = f { x ) + X ± 4 ^ ( p l (x) *=і Ак — A Шмидт формудасын аламыз. Егер Л = Лт рангісі г еселі меншікті мэн болса, онда CM,Cm+„...,Cm+r_, коэффиценттерін (87) тендігі бойынша анықтай алмаймыз, оның үстіне сол (87) теңдігінен ь fk = \f(x) a екені шығады. Сондықтан бұл жағдайда (85) теңдігінің шешімі т - 1 j m+r - 1 оо ү ф(х) = f ( x ) + Л ^ - Л ^ - ( р к{х) + Я X Скфк(х) + Л X <рк(х) *=і Лу—Л к=т к=т+г Лк~Л түрінде жазылады. Енді ядроларды кластарға бөлейік. Гильберт-Шмидт теоремасын қолдансақ, b 00 1 j K { x , s ) h ( s ) d s = ^ ~ h k(pk(x) а к - т Sltfc теңдігін аламыз. Бұл теңдіктің екі жағын да q(x) фунциясына көбейтіп, одан кейін х бойынша а-данЬ-ға дейін интегралдасақ, b Ь 00 1 ) \ К { х , s)h{s)q(x)dsdx = Z 1 - h kqk. а а k \ A k Егер q(x) = h(x) болса, онда J(h) = J J.K(x,s)h(s)h{x)dsdx = X - у К . a a * = l A Міне, осы теңцік ядроны кластарға бөлудің негізі болады. Бұл теңдік бойын ша барлық меншікті мәндердің оң болуының қажетгі де жеткілікті шарты - кез 95 келген h ( x ) e L 2(a,b) үшін J ( h ) > 0 болуы. Расында, егер барлық Як > 0 болса, онда теңсіздіктен J{h)> 0 болатыны көрініп тұр. Енді сол меншікті мәндердің кемінде біреуін Лт<0 деп алайық жэне һ(х) = (рт{х) болсын. Меншікті функция- лардың ортонормаланғаны себепті J{(pm) болады. Егер симметриялық A^(x,s) ядросының барлық меншікті мәндері оң болса, онда ядро оң деп аталады. Бұл жағдайда J ( h ) > 0. Егер симметриялық A^(x,5) ядросының барлық меншікті мәндері теріс болса, онда ядро теріс делінеді. Бұл жағдайда J ( h )< 0. Егер \/һ(х) е L2\a,b\ үшін J > 0 болса, онда оң симметриялық ядро анық (қатаң) оң делінеді. Егер V/z(x) е Е2[я,б] үшін J < 0 болса, онда теріс симметриялық ядро анық (қатаң) теріс делінеді. 4-теорема. K ( x , s ) ядросының анық оң болуы үшін, барлық меншікті мәндер оң жоне ядро түйық болуы қажетті де жеткілікті. Дәлелдеуі. K (x,s) ядросы түйық болмасын, онда һ ( х ) ^ 0 үшін һ j К (х, s)h(s)ds = 0 болады. Бұдан: а т = \ \ K(x,s)h(s)ds h(x)dx = 0, ягни K (x,s) анық оң емес. Сонымен, егер ^ ( х ,^ ) ядросы анық оң болса, онда ол тұйық. Мерсер теоремасы. Егер симметриялық А^(х,^) ядросы негізгі D - { a < x , s < b) облысында оң жэне үзіліссіз болса, онда бұл ядроның бисызықты катары бірқалыпты жинақты. Дәлелдеуі. Оң ядро үшін K ( x , s ) екенін дэлелдейік.Қарсы жорып, (х0,х0) ігүктесінде АГ(х0, х0) < 0 деп ұйғарайық. Бұл жағдайда үзіліссіздік қасиеті бойын- ша х е (х0 —£ ,х0+£) нүктесі үшін K ( x , s ) < 0 болады. Мынадай функция құрайық: Л(л) = | Лі(* )> 0 » х G (х0 _£,,х0 +£), I 0, х £ ( х 0 - £ , х 0 +£•); бұл функция үшін J(h) = \jK(x,s)h(s)h(x)dsdx = °\]K(x,s)hl(x)hi(s)dsdx < 0, °" 'о яғни оң болу шартына қарама-қайшы. Бұл қайшылық Л Д х,я)> 0 екенін дэлел- дейді. Енді р j Q(x,s) = K ( x , s ) - ' Z j - < p l (x) (88) 96 деп белгілейік. Эрине (2(x,s) - үзіліссіз жоне симметриялық ядро. Енді осы Q(x , s ) ядросының оң екенін көрсетейік. Ол үшін т> р болғанда һ = (рт деп алайық. Онда [срт } жүйенің ортонормаланғанын пайдаланып, = JJ Q(s,x)(pm(x)(pm{s)dsdx = \ J K{x,s)(p(s)(pm{x)dxds > О, a a яғни Q ( x ,s ) ядросының оң екенін дэлелдедік. Сондықтан Q(x,x) >ООлай болса, (88) теқдігі бойынша Q(x,х) = К ( х ,х )-Х ~ г < Р І(*) > 0 k-\Ak немесе барлық р үшін 11-у(РІ(х)<К{х,х). 00 I Сондықтан оң мүшелерден кұралған Х ү ФІІ*) қатар жинақты. Ал бисы- k=\Ak зықты қатар үшін L у - О М (s) < і ■ J - [(pi (х) + (pi ( j )] * 1 /Ц Z *=1 Лк теңсіздігі орынды, ал бүл теңсіздіктен қатардың бірқалыпты жинақтылығы шы- ғады. Сонымен K ( x ,s ) = f , ^ - ( p n(x)(pn(s) п=\Ап теңдігі орынды. Бұдан s = x деп алып, ортонормаланған {(р„{х )) үшін = п=іЯ„ ь = \ К ( х , x)dx = А, тендігін аламыз. a жүктеу/скачать 10,43 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|