Курсовая работа Применение производной к решению задач



бет3/10
Дата17.10.2023
өлшемі1,9 Mb.
#117296
түріКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
bibliofond.ru 732190

Геометрический смысл производной.
Теперь дадим не менее важное геометрическое истолкование производной. Для этого нам прежде всего потребуется определение касательной к кривой в данной точке.



Рис. 1. Рис. 2.


Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку . Возьмем на кривой точку и проведем секущую (рис. 1). Если точка неограниченно приближается по кривой к точке , то секущая занимает различные положения , и т. д.
Если при неограниченном приближении точки , по кривой к точке с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой , то эта прямая называется касательной к кривой в точке .
Определение 2. Прямая заданная уравнением





называется касательной к графику функции в точке . [6, c. 134]
Рассмотрим функцию и соответствующую этой функции кривую





В прямоугольной системе координат (рис. 2). При некотором значении функция имеет значение . Этим значениям и на кривой соответствует точка . Дадим аргументу приращение . Новому значению аргумента соответствует «наращенное» значение функции . Соответствующей ему точкой кривой будет точка . Проведем секущую и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси . Составим отношение . Из рисунка 1 непосредственно усматриваем, что


. (5)


Если теперь будет стремиться к нулю, то точка перемещаться вдоль кривой, приближаясь к . Секущая будет поворачиваться вокруг точки и угол будет меняться с изменением . Если при угол стремиться к некоторому пределу , то прямая, проходящая через и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол , будет искомой касательной. Нетрудно найти ее угловой коэффициент:


.
Следовательно,
, (6)


т.е. значение производной при данном значении аргумента равняется тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси касательной к графику функции в соответствующей точке .


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет