Курсовая работа Применение производной к решению задач


Доказательство неравенств



бет8/10
Дата17.10.2023
өлшемі1,9 Mb.
#117296
түріКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
bibliofond.ru 732190

2.4 Доказательство неравенств


При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций.
Пример 18. Докажем, что для всех справедливо неравенство .
Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную .
Так как при выполняется неравенство , причем равенство возможно лишь в случае , то функция возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство . Но .
Значит, , т.е. .
Таким образом, , что и требовалось доказать.
Пример 19. Докажем, что при выполняется неравенство


.


Решение. Составим вспомогательную функцию , где


,


и найдем ее производную


.


Из предыдущего примера следует, что , значит, функция возрастает на луче . Но тогда из неравенства вытекает неравенство , а так как , то получаем , т.е.





и, следовательно,


,


Что и требовалось доказать.
Пример 20. Докажем, что если , то .
Решение. Исследуем на монотонность функцию . Имеем


.


если , то, как известно, и тем более . Значит, в интервале выполняется неравенство , а потому функция возрастает на этом интервале. Тогда из следует , т.е. , что и требовалось доказать.




Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет