Курсовая работа Применение производной к решению задач


Вычисление пределов (Правило Лопиталя)



бет9/10
Дата17.10.2023
өлшемі1,9 Mb.
#117296
түріКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Байланысты:
bibliofond.ru 732190

2.5 Вычисление пределов (Правило Лопиталя)




Рассмотрим вычисление пределов дроби , когда x a или x , причем f(x) и g(x) либо одновременно стремятся к нулю, либо одновременно стремятся к бесконечности.
Теорема 6. Пусть функции f и g дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности U точки a (т.е дифференцируемы во всех точках этой окрестности, за исключением, быть может, самой точки a), g’(x) отлично от нуля в U, и пусть . Тогда если существует , то существует и , причем эти пределы равны:


= .


в случае, когда и , геометрический смысл этой теоремы состоит в следующем. Графики функций и пересекают ось абсцисс в точке М(a;0), и поэтому уравнения их касательных к этим графикам в точке М имеют вид и Но предел отношения функций и при равен пределу отношения ординат касательных при , а этот предел и равен .
Доказательство. Доопределим функции f и g, положив их значение в точке a равным нулю, f(a)=g(a)=0, то


= ,


где точка c лежит между a и x. При имеем и поэтому


=


что и требовалось доказать. [2, c. 135]
Замечание. Условие теоремы 1 выполнены, если функции f и g дифференцируемы в проколотой окрестности точки a, непрерывны в этой точке, причем f(a)=g(a)=0.
Теорема 7. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть . Если существует , то существует и :


= .


Доказательство. Положим х= . Тогда


, ,
, .


Имеем


.
Для вычисления предела воспользуемся теоремой 1. Получим


= .


Теорема доказана. [2, c. 135]
В этих теоремах мы рассмотрели случаи раскрытия неопределенности вида , когда и когда x + . Аналогично обстоит дело и в случае, когда x - или x . Заметим, что проведенные доказательства сохраняют свою силу и в том случае, когда равен или , где a- число или один из символов или .
Теперь мы рассмотрим вопрос о раскрытие неопределенности вида . Начнем со случая, когда x + (случаи, когда x - или x , рассматриваются аналогично).
Теорема 8. Пусть функции f и g дифференцируемы на луче , причем , и пусть .Тогда если существует , то существует и , причем


= .


Доказательство. Возьмем произвольное положительное число ε>0. по условию существует ; положим =А. Тогда по определению предела найдется такое число N, что для выполняется неравенство


. (21)


Не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что . Применив к отрезку теорему Коши, получим


где .


Так как , то, воспользовавшись неравенством (21), получим


,


откуда


. (22)


Перепишем это неравенство в виде


, (22’)


где для краткости через обозначена дробь .
Так как , то и поэтому .
Разделим обе части неравенства (22’) на . Так как , то при достаточно больших значениях x имеем и , а поэтому


. (23)


Итак, для любого ε>0 существует число М, такое, что для выполняется неравенство (23), а это означает, что


=A. [2, c.137]


Замечание. Теорема сохраняет свою силу и в случае, когда .


В этом случае , а тогда и . Отсюда следует, что , т. е.


.


Замечание. Теорема справедлива и в случае , где a- число. Для доказательства достаточно положить . Если , то и теорема сводится к уже доказанной.
Теоремы 6, 7, 8 называются правилом Лопиталя.
Рассмотрим примеры применения правила Лопиталя для вычисления пределов функций.
Пример 21. Вычислим


.


Решение. Здесь имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, можем записать:





Разумеется, используя и в дальнейшем подобную краткую запись, мы предполагаем, что все условия соответствующей данному случаю теоремы выполнены и, в частности, что предел отношения производных существует.
Пример 22. Вычислим


,


а при знаменатель , в нуль. Поэтому поступим иначе. Сначала с помощью правила Лопиталя найдем предел


.


Но тогда, в силу того, что функция ограничена и потому , получаем


.


Иногда при вычисление пределов с помощью правила Лопиталя получается, что снова представляет собой неопределенность вида или . В таком случае, если выполняются условия соответствующих теорем, можно еще раз применить правило Лопиталя, заменив отношение функций и отношением их производных, т. е. выражением .
Пример 23. Вычислим


.


Решение. Имеем неопределенность вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:


.


Снова получилась неопределенность вида . Условие теоремы 7 выполняются. Применим к полученному выражению еще раз правило Лопиталя:


.


Итак,


=0.


Во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения.
Пример 24. Вычислим


.


Решение. Так как ~ при , то ~ и, следовательно,


.


Имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя, получим


.


Снова имеем неопределенность вида и вновь применим правило Лопиталя. Но, прежде чем перейти к повторному дифференцированию, воспользуемся тем, что . Получим





Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет