Лабораторная работа №3 исследование сар с запаздыванием
Линейное звено с запаздыванием
жүктеу/скачать 353 Kb.
|
| Линейное звено с запаздыванием. В общем случае, как и для (2), уравнение динамики любого линейного звена с запаздыванием можно разбить на два (p = d/dt)
(4) что соответствует условной разбивке линейного звена с запаздыванием (рисунок 2, а) на два: обыкновенное линейное звено того же порядка и с теми же коэффициентами и предшествующий ему элемент запаздывания (рисунок 2, б). Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет, следовательно, такая же, как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправо на величину . Примером звена «чистого» запаздывания является акустическая линия связи ( — время прохождения звука). Другими примерами могут служить система автоматического дозирования какого-либо вещества, перемещаемого с помощью ленточного транспортера ( — время движения ленты на определенном участке), а также система регулирования толщины прокатываемого металла, где означает время движения металла от валков до измерителя толщины. В двух последних примерах величина называется транспортным запаздыванием. Элемент запаздывания Обыкновенное линейное звено Рисунок 2. Звено с запаздыванием Рисунок 3. Переходные процессы звеньев второго порядка В первом приближении определенной величиной запаздывания могут быть охарактеризованы трубопроводы или длинные электрические линии, входящие в звенья системы. Величину запаздывания в звене можно определить экспериментально путем снятия временной характеристики. Например, если при подаче на вход звена скачком некоторой величины, принимаемой за единицу, на выходе получается экспериментальная кривая для х2, показанная на рисунок 3,б, то можно приближенно описать это звено как апериодическое звено первого порядка с запаздыванием (2), взяв величины , Т и k с экспериментальной кривой (рисунок 3, б). Заметим также, что такая же экспериментальная кривая согласно графику рисунок 3,в может трактоваться и как временная характеристика обыкновенного апериодического звена второго порядка с уравнением (5) причем T1, T2 и k можно вычислить из соотношений, записанных для данного звена, по некоторым замерам на экспериментальной кривой или другими способами. Итак, с точки зрения временной характеристики реальное звено, приближенно описываемое уравнением первого порядка с запаздывающим аргументом (2), часто может быть с такой же степенью приближения описано обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка (5). Для решения вопроса о том, какое из этих уравнений лучше подходит к данному реальному звену, можно сравнить еще их амплитудно-фазовые характеристики с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой звена, выражающей его динамические свойства при вынужденных колебаниях. Построение амплитудно-фазовых характеристик звеньев с запаздыванием будет рассмотрено ниже. Представим второе из соотношений (4) для элемента запаздывания в операторном виде. Разложив правую часть его в ряд Тейлора, получим или, в принятой ранее символической операторной записи, (6) Это выражение совпадает с формулой теоремы запаздывания для изображений функций. Таким образом, для звена чистого запаздывания получаем передаточную функцию в виде W(р) = е-p (7) Заметим, что в некоторых случаях наличие большого числа малых постоянных времени в системе регулирования можно учесть в виде постоянного запаздывания, равного сумме этих постоянных времени. Действительно, пусть система содержит N последовательно включенных апериодических звеньев первого порядка с коэффициентом передачи, равным единице, и величиной каждой постоянной времени . Тогда результирующая передаточная функция будет (8) Если , то в пределе получаем W(р) = е-p. Уже при N=810 передаточная функция (8) мало отличается от передаточной функции звена с запаздыванием (6). Уравнение любого линейного звена с запаздыванием (4) будем теперь записывать в виде Q(р)х2 = R(р)е-рх1. (9) Передаточная функция линейного звена с запаздыванием будет , (10) где через W0(р) обозначена передаточная функция соответствующего обыкновенного линейного звена без запаздывания. Частотная передаточная функция получается из (10) подстановкой р=j: , (11) где А0() и 0() – модуль и фаза частотной передаточной функции звена без запаздывания. Отсюда получаем следующее правило. Для построения амплитудно-фазовой характеристики любого линейного звена с запаздыванием нужно взять характеристику соответствующего обыкновенного линейного звена и каждую ее точку сдвинуть вдоль окружности по часовой стрелке на угол , где – значение частоты колебаний в данной точке характеристики (рисунок 4, а). Так как в начале амплитудно-фазовой характеристики = 0, а в конце = , то начальная точка остается без изменения, а конец характеристики асимптотически навивается на начало координат (если степень операторного многочлена R меньше, чем многочлена Q). Выше говорилось о том, что реальные переходные процессы (временные характеристики) вида рисунок 3, б часто могут быть с одинаковой степенью приближения описаны как уравнением (2), так и (5). Амплитудно-фазовые характеристики для уравнений (2) и (5) показаны на рисунке 4,а и б соответственно. Принципиальное отличие первой состоит в том, что она имеет точку D пересечения с осью U. Рисунок 4. Амплитудно-фазовые характеристики жүктеу/скачать 353 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|