Комплекс айнымалылардың тригонометриялық функциялары

1. Айталық, – кез келген комплекс айнымалы болсын. Мұндай айнымалының да косинусы мен синусы, нақты айнымалыныкіндей, Эйлер формулалары арқылы анықталады:

(1)

. (2)

, .

(1) және (2) формулалардан мына формулалардың

, (3)

(4)

Енді пен функцияларының негізгі периоды екенін көрсетейік.

Оны мынадан байқауға болады: егер (1), (2) формулаларының сол жақ бөлігіндегі аргумент мәні -ге өзгергенде, олардың оң жақ бөлігіндегі көрсеткіштік функциялардың аргументтері -ге өзгереді. Ал – көрсеткіштік функциялардың периодтары. Сондықтан

, .

(5)

,

теңсіздіктері де орындалады деген қорытынды жасауға болмайды.

Тригонометриялық , функциялармен тығыз байланысты гиперболалық функцияларға біраз тоқтап кетейік.

Комплекс айнымалы -тің гиперболалық косинусы деп келесі

(6)

Комплекс айнымалы -тің гиперболалық синусы () деп келесі

(7)

формуламен анықталатын функциясын айтады.

Гиперболалық косинус мына жарты интервалында -тен 1-ге дейін кемиді, ал жарты интервалында 1-ден дейін артады, – жұп функция.

Гиперболалық синус – тақ функция және бүкіл интервалында -тен -ке дейін артады, тек болғанда нольге айналады.

Егер (1) теңдіктегі орнына қойсақ, онда

. (8)

Сондай-ақ (2) теңдіктегі орнына қойсақ, онда

(8), (9) формулалардан шығатыны:

. (10)

комплекс айнымалы болғандықтан, оның , функцияларының нақты және жорамал бөліктері болады. Енді соларды және осы функциялардың модульдерін табайық.

.

(8), (9) формулаларын пайдаланып, келесі

теңбе-теңдігіне келеміз.

Бұдан

, (12)

Дәл осы жолмен мынаны жазамыз:

.

(8), (9) формулалардың нәтижелерін пайдаланып, былай жазамыз:

Бұдан -тің нақты және жорамал бөлігін табамыз:

, (15)

. (16)

.

(10) формуланы еске алсақ, онда

Ал (14) формуладан

.

(10) формуланы еске алсақ, онда

(17) және (18) теңдіктерден төмендегі

(19)

теңсіздіктерінің шығатынын байқау оңай.

Егер косинус пен синустың аргументтері нақты айнымалы болса, мұндай қорытындыны жасауға болмайды, өйткені, ондай тригонометриялық функциялардың модульдері 1-ден артпайтыны белгілі.

Егер болса, онда болады. Бұл туралы жоғарыда айтылды. Ендігі қорытынды мынадай: пен нақты осьтен тысқары ешбір нүктеде нольге айналмайды, демек, , теңдеулерінің жорамал түбірлері болмайды, яғни бұл теңдеулердің түбірлері өзімізге тригонометриядан белгілі мына сандар болады:

, теңдеуі үшін,

, теңдеуі үшін.

3.Тригонометриялық функциялардың көмегімен түрлендіру

Мына

функциясының көмегімен қалай түрленетінін қарастырайық. Бұл функцияны былай жазуға болады:

. (2)

Енді деп ұйғарсақ, (2) теңдік мына түрге келеді:

бұдан

Квадрат теңдеуді -ге арнап шешеміз:

. (4)

мен -нің көбейтіндісі, квадрат теңдеу түбірлерінің қасиеттері бойынша, 1-ге тең. Олай болса, олардың екеуі де нольден өзгеше. Бұл түбірлердің бірін , екіншісін десек, онда мына теңдеуі екі теңдеуге ажырайды:

. (6)

,

. (7)

Мұның жауабы былай болу керек: комплекс жазықтығының нақты осіне параллель түзуінің шектеусіз көп нүктелері бар және әрбір көршілес екі нүктенің арақашықтығы -ге тең және де түзуінің бойындағы әрбір нүктесіне қарағанда симметриялы екінші түзуінің нүктесі сәйкес келеді (1-сурет).

1-сурет

Енді комплекс жазықтығында нүктесі жорамал оське параллель түзулерді бейнелейтін болсын. Осы түзулер (1) функцияның көмегімен жазықтығында қандай геометриялық бейнеге түрленеді, соны қарастырайық.

(1) теңдік бойынша

. (8)

(8) теңдікті былай жазуға болады:

,

бұдан

Енді осы екі теңдеуден параметр -ні арылтайық, ол үшін

, .

Осы теңдеулердің әрқайсысын квадрат дәрежеге шығарып, бірінен-бірін мүшелеп шегерсек, онда

Сонымен,

Бұл шыққан теңдеу – жарты осьтері мен фокустары нүктелерінде жатқан гипербола теңдеуі.

Сөйтіп, жорамал оське параллель түзулер функциясының көмегімен гиперболаға түрленеді.

Енді нүктесі комплекс жазықтығында нақты оське параллель түзулерді бейнелейтін болсын.

(1) теңдікті былай жазуға болады:

немесе

бұдан

Енді осы екі теңдеуден параметр -ні арылтайық, ол үшін

, .

Бұлардың әрқайсысын квадрат дәрежеге шығарып, мүшелеп қоссақ, онда

Осы шыққан (10) теңдеу – жарты осьтері мен фокустары нүктелерінде жатқан эллипс теңдеуі.

2-сурет

Жалпы дәрежелік функция деп келесі

(1)

функциясын айтады, мұнда , ал – кез келген комплекс айнымалы. (1) теңдікті былай жазуға болады:

Егер комплекс айнымалы -ті тригонометриялық формада жазсақ,

,

онда

-тің осы мәнін (2) теңдіктің оң жақ бөлігіне қойып, табатынымыз:

, . (3)

Қарастырылып отырған дәрежелік функцияның көп мәнді екені (3) теңдіктен айқын және егер , мен өзгермейді десек, онда бұл мәндер радиустары мына

(4)

сандарына тең шеңберлерінің бойында жатады.

дәрежелік функцияның аргументтері

(5)

айырмасы арифметикалық прогрессия құрайды.

. (6)

, , , ..., және . (7)

Сөйтіп, рационал сан болғанда функциясының мәндері шектеулі болатын болды.

Егер – иррационал сан болса, онда көп мәнді функция болады.