Лекци Жиын ұғымы. Жиындарға қолданылатын кейбір амалдар. Жиындардың теңдігі. Эквиваленті жиындар. Ақырлы және ақырсыз жиындар. Сандар жиыны. Ақырсыз жиындар


Комплекс айнымалылардың тригонометриялық функциялары



бет66/82
Дата09.03.2022
өлшемі2,71 Mb.
#27298
түріЛекция
1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   ...   82
Байланысты:
умк анализ фунд.сұрақтары

5.Комплекс айнымалылардың тригонометриялық функциялары

мен гиперболалық функциялары

1. Айталық, – кез келген комплекс айнымалы болсын. Мұндай айнымалының да косинусы мен синусы, нақты айнымалыныкіндей, Эйлер формулалары арқылы анықталады:

(1)

. (2)


Косинус пен синусты осылай анықтап алғаннан кейін, қалған тригонометриялық функцияларды былай анықтауға болады:

, .


, .

(1) және (2) формулалардан мына формулалардың

, (3)

(4)


шығатыны айқын және жұп, тақ екенін байқауға болады.

Енді пен функцияларының негізгі периоды екенін көрсетейік.

Оны мынадан байқауға болады: егер (1), (2) формулаларының сол жақ бөлігіндегі аргумент мәні -ге өзгергенде, олардың оң жақ бөлігіндегі көрсеткіштік функциялардың аргументтері -ге өзгереді. Ал – көрсеткіштік функциялардың периодтары. Сондықтан

, .


Нақты аргументтің тригонометриялық функцияларының арасындағы қатыстар комплекс айнымалы тригонометриялық функциялар үшін дұрыс, оған тоқтап жатпаймыз. Мәселен, мынадай

(5)


формула дұрыс. Бірақ бұл формулаға қарап,

,

теңсіздіктері де орындалады деген қорытынды жасауға болмайды.



Міне, бұл жағдай нақты айнымалы тригонометриялық функциялар мен комплекс айнымалы тригонометриялық функциялардың арасындағы үлкен айырмашылық болмақ.

2. Комплекс айнымалылардың гиперболалық функциялары.

Тригонометриялық , функциялармен тығыз байланысты гиперболалық функцияларға біраз тоқтап кетейік.

Комплекс айнымалы -тің гиперболалық косинусы деп келесі

(6)


формуласымен анықталатынын функцияны айтады.

Комплекс айнымалы -тің гиперболалық синусы () деп келесі

(7)

формуламен анықталатын функциясын айтады.



Егер нақты болса, гиперболалық косинус пен синус нақты мәндерді қабылдайды.

Гиперболалық косинус мына жарты интервалында -тен 1-ге дейін кемиді, ал жарты интервалында 1-ден дейін артады, – жұп функция.

Гиперболалық синус – тақ функция және бүкіл интервалында -тен -ке дейін артады, тек болғанда нольге айналады.

Егер (1) теңдіктегі орнына қойсақ, онда

. (8)

Сондай-ақ (2) теңдіктегі орнына қойсақ, онда



. (9)

(8), (9) формулалардан шығатыны:

. (10)

комплекс айнымалы болғандықтан, оның , функцияларының нақты және жорамал бөліктері болады. Енді соларды және осы функциялардың модульдерін табайық.



Шынында,

.

(8), (9) формулаларын пайдаланып, келесі



(11)

теңбе-теңдігіне келеміз.

Бұдан

, (12)


. (13)

Дәл осы жолмен мынаны жазамыз:

.

(8), (9) формулалардың нәтижелерін пайдаланып, былай жазамыз:



. (14)

Бұдан -тің нақты және жорамал бөлігін табамыз:

, (15)

. (16)


Енді пен -тің модульдерін табайық: (11) формуладан:

.

(10) формуланы еске алсақ, онда



. (17)

Ал (14) формуладан

.

(10) формуланы еске алсақ, онда



. (18)

(17) және (18) теңдіктерден төмендегі

(19)

теңсіздіктерінің шығатынын байқау оңай.



(19) теңсіздігінен пен модульдері артқанда шектеусіз өседі деген қорытындыға келеміз, өйткені шектеусіз өскенде шектеусіз өседі деп біз жоғарыда ескерттік.

Егер косинус пен синустың аргументтері нақты айнымалы болса, мұндай қорытындыны жасауға болмайды, өйткені, ондай тригонометриялық функциялардың модульдері 1-ден артпайтыны белгілі.

Егер болса, онда болады. Бұл туралы жоғарыда айтылды. Ендігі қорытынды мынадай: пен нақты осьтен тысқары ешбір нүктеде нольге айналмайды, демек, , теңдеулерінің жорамал түбірлері болмайды, яғни бұл теңдеулердің түбірлері өзімізге тригонометриядан белгілі мына сандар болады:

, теңдеуі үшін,

, теңдеуі үшін.

3.Тригонометриялық функциялардың көмегімен түрлендіру

Мына


(1)

функциясының көмегімен қалай түрленетінін қарастырайық. Бұл функцияны былай жазуға болады:

. (2)

Енді деп ұйғарсақ, (2) теңдік мына түрге келеді:



,

бұдан


.

Квадрат теңдеуді -ге арнап шешеміз:

. (4)

мен -нің көбейтіндісі, квадрат теңдеу түбірлерінің қасиеттері бойынша, 1-ге тең. Олай болса, олардың екеуі де нольден өзгеше. Бұл түбірлердің бірін , екіншісін десек, онда мына теңдеуі екі теңдеуге ажырайды:



, (5)

. (6)


Ал бұл екі теңдеудің әрқайсысының да шектеусіз көп шешулері болады:

,

. (7)



Бұл нені білдіреді?

Мұның жауабы былай болу керек: комплекс жазықтығының нақты осіне параллель түзуінің шектеусіз көп нүктелері бар және әрбір көршілес екі нүктенің арақашықтығы -ге тең және де түзуінің бойындағы әрбір нүктесіне қарағанда симметриялы екінші түзуінің нүктесі сәйкес келеді (1-сурет).



1-сурет


Сонымен, (1) теңдеудің барлық жағдайында да шешулері болады және олар шектеусіз көп. Бұдан шығатын қорытынды мынадай: (1) теңдікпен анықталған функция көмегімен комплекс жазықтық комплекс жазықтығының әрбәр нүктесіне жазықтытығының шектеусіз көп нүктесі сәйкес болады.

Енді комплекс жазықтығында нүктесі жорамал оське параллель түзулерді бейнелейтін болсын. Осы түзулер (1) функцияның көмегімен жазықтығында қандай геометриялық бейнеге түрленеді, соны қарастырайық.

(1) теңдік бойынша

. (8)


Айталық, , мұнда – бүтін сан.

(8) теңдікті былай жазуға болады:

,

бұдан


, .

Енді осы екі теңдеуден параметр -ні арылтайық, ол үшін

, .

Осы теңдеулердің әрқайсысын квадрат дәрежеге шығарып, бірінен-бірін мүшелеп шегерсек, онда



.

Сонымен,


. (9)

Бұл шыққан теңдеу – жарты осьтері мен фокустары нүктелерінде жатқан гипербола теңдеуі.

Сөйтіп, жорамал оське параллель түзулер функциясының көмегімен гиперболаға түрленеді.

Енді нүктесі комплекс жазықтығында нақты оське параллель түзулерді бейнелейтін болсын.

(1) теңдікті былай жазуға болады:

немесе


,

бұдан


, .

Енді осы екі теңдеуден параметр -ні арылтайық, ол үшін

, .

Бұлардың әрқайсысын квадрат дәрежеге шығарып, мүшелеп қоссақ, онда



. (10)

Осы шыққан (10) теңдеу – жарты осьтері мен фокустары нүктелерінде жатқан эллипс теңдеуі.



Сайып келгенде, функциясының көмегімен комплекс жазықтығындағы координаталық осьтерге параллель түзулерден құралған тікбұрышты тор жазықтығындағы эллипстер мен гиперболалардан құралған қиғаш бұрышты торға түрленетін болды (7-сурет).

2-сурет


4.Жалпы дәрежелік функция

Жалпы дәрежелік функция деп келесі

(1)

функциясын айтады, мұнда , ал – кез келген комплекс айнымалы. (1) теңдікті былай жазуға болады:



. (2)

Егер комплекс айнымалы -ті тригонометриялық формада жазсақ,

,

онда


.

-тің осы мәнін (2) теңдіктің оң жақ бөлігіне қойып, табатынымыз:

, . (3)

Қарастырылып отырған дәрежелік функцияның көп мәнді екені (3) теңдіктен айқын және егер , мен өзгермейді десек, онда бұл мәндер радиустары мына

(4)

сандарына тең шеңберлерінің бойында жатады.



(4) теңдікті анықтайтын радиустардың мәндері екі геометриялық прогрессия құрайды, олардың біреуінің еселігі оң болғанда , ал екіншісінің еселігі теріс болғанда .

дәрежелік функцияның аргументтері

(5)

айырмасы арифметикалық прогрессия құрайды.



Егер болса, онда – нақты сан және функциясының барлық мәндері мына шеңбердің бойында жатады, бұл мәндердің аргументтері

. (6)


Егер рационал сан болса, онда функциясының (6) теңдікпен анықталатын аргументтерінің әр түрлі мәні болады. Мәселен,

, , , ..., және . (7)

Сөйтіп, рационал сан болғанда функциясының мәндері шектеулі болатын болды.

Егер – иррационал сан болса, онда көп мәнді функция болады.





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   62   63   64   65   66   67   68   69   ...   82




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет