Лекции №1 Матрицы и определители Содержание темы лекции Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами
жүктеу/скачать 215,78 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Свойство
| Определение. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной матрицей порядка .
Всякая квадратная матрица имеет определитель. Определение. Выражение вида = называется определителем (детерминантом) матрицы второго порядка (определителем второго порядка) Определение. Выражение вида = называется определителем (детерминантом) матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка). Изучение структуры определителей второго и третьего порядка даёт возможность ввести понятие определителя порядка. Определение Определителем (детерминантом) порядка из элементов соответствующей матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знак члена равен , где - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов члена, когда сами элементы члена расположены в порядке возрастания первых индексов. Вычисление определителей, особенно высших порядков, часто упрощается, если воспользоваться их свойствами. 3. Свойство 1.(о равноправности строк и столбцов) Значение определителя не изменится, если его строки заменить столбцами, сохраняя порядок следования. Операция замены в определителе строк столбцами с сохранением порядка следования называется транспонированием определителя. Доказательство этого свойства следует из определения определителя. Свойство 2. При перестановке местами двух строк или двух столбцов абсолютная величина определителя не изменится, а знак определителя меняется на противоположный. Доказательство этого свойства следует из определения определителя. Свойство 3. Определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца, равен нулю. Доказательство этого свойства следует из определения определителя. Свойство 4. Общий множитель всех элементов некоторого столбца или некоторой строки можно выносить за знак определителя. Доказательство этого свойства следует из определения определителя. Свойство 5. Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю. Доказательство этого свойства следует из определения определителя Свойство 6. Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю. Доказательство этого свойства следует из свойства 3 и свойства 4. Свойство 7. Если все элементы - го столбца (строки) определителя являются суммой двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементами го столбца (строки) являются соответственно первые и вторые слагаемые членов столбца (строки) заданного определителя, а все остальные элементы такие же, как и у исходного определителя. Доказательство этого свойства следует из определения определителя Свойство 8. Определитель не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Доказательство этого свойства следует из свойств 6 и 7 определителя. Определение. Минором элемента определителя (1.2) называется определитель, получаемый из данного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент . Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (1.3) жүктеу/скачать 215,78 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|