Лекции №1 Матрицы и определители Содержание темы лекции Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами



бет4/6
Дата19.09.2023
өлшемі215,78 Kb.
#108587
түріЛекции
1   2   3   4   5   6
Байланысты:
file-3187

Теорема Лапласа(о разложении определителя).
Определитель равен сумме произведений элементов какой- либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (столбца), т.е.
(1.4)
Доказательство теоремы следует из определения определителя.
Следствие. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю.
Доказательство этого следствия следует из теоремы Лапласа и свойства 3 определителя.
4. Минором элемента определителя называется определитель, обозначаемый символом , который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Алгебраическим дополнением элемента определителя, обозначаемым , называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент чётная, и со знаком минус в противном случае, т.е.
.
Пример
А) Найдите минор и алгебраическое дополнение элемента определителя .
Элемент . Вычеркнем вторую строку и третий столбец: .
Тогда минор . Алгебраическое дополнение .
Б) Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента определителя .
Элемент . Вычеркнем вторую строку и первый столбец: .
Тогда минор . Алгебраическое дополнение .

5.Определение. Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель , и невырожденной, если .


Теорема 1. Определитель произведения квадратных матриц одинаковой размерности равен произведению определителей матриц сомножителей, т.е. .(докажите самостоятельно).
Следствие. Произведение двух квадратных матриц одного и того же порядка будет невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда обе перемножаемые матрицы невырожденные.
Определение. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если выполняются равенства: (2.3)
Как видно из равенства (2.3), обратная матрица является квадратной матрицей.
Теорема 2. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу вида:
= (2.4)
где - алгебраические дополнения соответствующих элементов .
Доказательство. Составим произведение матриц
(2.5)
Перемножая эти матрицы и, используя теорему Лапласа и следствие её,получим: , ч.т.д.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет