Лекции №1 Матрицы и определители Содержание темы лекции Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами
жүктеу/скачать 215,78 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример А)
- Определение
- Теорема
| Теорема Лапласа(о разложении определителя).
Определитель равен сумме произведений элементов какой- либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (столбца), т.е. (1.4) Доказательство теоремы следует из определения определителя. Следствие. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю. Доказательство этого следствия следует из теоремы Лапласа и свойства 3 определителя. 4. Минором элемента определителя называется определитель, обозначаемый символом , который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент . Алгебраическим дополнением элемента определителя, обозначаемым , называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент чётная, и со знаком минус в противном случае, т.е. . Пример А) Найдите минор и алгебраическое дополнение элемента определителя . Элемент . Вычеркнем вторую строку и третий столбец: . Тогда минор . Алгебраическое дополнение . Б) Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента определителя . Элемент . Вычеркнем вторую строку и первый столбец: . Тогда минор . Алгебраическое дополнение . 5.Определение. Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель , и невырожденной, если . Теорема 1. Определитель произведения квадратных матриц одинаковой размерности равен произведению определителей матриц сомножителей, т.е. .(докажите самостоятельно). Следствие. Произведение двух квадратных матриц одного и того же порядка будет невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда обе перемножаемые матрицы невырожденные. Определение. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если выполняются равенства: (2.3) Как видно из равенства (2.3), обратная матрица является квадратной матрицей. Теорема 2. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу вида: = (2.4) где - алгебраические дополнения соответствующих элементов . Доказательство. Составим произведение матриц (2.5) Перемножая эти матрицы и, используя теорему Лапласа и следствие её,получим: , ч.т.д. жүктеу/скачать 215,78 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|