Лекции №1 Матрицы и определители Содержание темы лекции Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами
Теорема 3. У любой невырожденной матрицы обратная матрица единственная. Доказательство
жүктеу/скачать 215,78 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Определение
| Теорема 3. У любой невырожденной матрицы обратная матрица единственная.
Доказательство.(от противного). Предположим, что матрица имеет две обратных матрицы и . Тогда имеют место равенства: и (2.6) Отсюда , т.е. , ч.т.д. Определение. Квадратная матрица называется ортогональной, если выполняется равенство: . Очевидно, что ортогональной может быть только невырожденная матрица. Пример 2. Матрица ортогональна, так как = . Теорема 4. Для того, чтобы квадратная матрица была ортогональной, необходимо и достаточно , чтобы: 1) был равен либо +1, либо -1; 2) каждый её элемент был бы равен своему алгебраическому дополнению, если , и своему алгебраическому дополнению, взятому с противоположным знаком, если . Выделим в матрице размерности строк и столбцов, где .Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка . Определитель этой матрицы называется минором го порядка матрицы . Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.Обозначается , или . Если ранг матрицы равен , то это означает, что у матрицы есть минор порядка , отличный от нуля, и все миноры порядка, большего чем , равны нулю. В этом случае минор порядка, отличный от нуля, называют базисным минором. Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами. Теорема 5.(о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Определение. Каждую строку матрицы назовём вектором-строкой, а каждый столбец назовём вектором-столбцом. Отсюда следует, что матрице размерности соответствует система векторов-строк и векторов-столбцов. Тогда из теоремы о базисном миноре вытекает важное следствие. Следствие. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу её линейно независимых столбцов и равно рангу матрицы . Отсюда следует, что ранг матрицы при транспонировании не меняется. На следствие теоремы о базисном миноре опирается один из способов вычисления ранга матрицы, который называется методом Гаусса. Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия: вычёркивание нулевой строки (столбца); перестановка местами двух строк (столбцов); прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число . жүктеу/скачать 215,78 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|