Исследование систем второго порядка

96 
где 
,
i j
a
– постоянные коэффициенты; 


1
2
,
,
P x x


1
2
,
Q x x
– члены, обраща-
ющиеся в нуль в начале координат (
1
2
0
x
x


). При этом систему (12.5) 
можно записать в виде 

x
Ax
, 
(12.6) 
где 
1,1
1,2
2,1
2,2
a
a
A
a
a


 



. 
Запишем соответствующее характеристическое уравнение: 


2
1,1
2,2
1,1 2,2
2,1 1,2
det
(
)
0
a
a
a a
a a










E
A
. 
(12.7) 
А. Пуанкаре показал, что в зависимости от значений корней 
1
2
,
 
ха-
рактеристического уравнения (12.7) исходная система может иметь типы 
особых точек, показанные в табл. 12.1. 
Таблица 12.1 
№ 
п/п 
Тип 
корней 
Тип особой 
точки 
Фазовая картина 
1 
Веществ. 
1
2
0,
0




Устойчивый узел 
2 
Веществ. 
1
2
0,
0




Неустойчивый узел 
3 
Комплексные 
1
2
0,
0




Устойчивый фокус 
4 
Комплексные 
1
2
0,
0




Неустойчивый фокус 
5 
Вещественные,
разных знаков 
Седло 
6 
Чисто мнимые 
1
2
0
 


Особая точка типа центр 
Если нелинейные члены 




1
2
1
2
,
0,
,
0
P x x
Q x x


при любых 
1
2
,
x x
на 
фазовой плоскости, то указанные типы особых точек при 
1
2
0
x
x


сохра-
няются, а характерные для них траектории охватывают всю фазовую плос-
кость. В следующем разделе мы рассмотрим такой пример. 

97

12.4. Построение фазовых траекторий
линейной системы второго порядка 
Пусть имеется линейная система второго порядка 
1
2 1
0
x
a x
a x



. 
(12.8) 
Дифференциальное уравнение (12.8) описывает свободное (невозму-
щенное) движение системы при начальных условиях
0
0
(0)
,
(0)
x
x
x
x


. 
(12.9) 
Выбрав вектор состояния 


1
2
,
T
x
x x

так, что 
1
,
x
x

2
x
x

имеем 
1
2
2
1 2
2 1
,
x
x
x
a x
a x



 


или 
1
2
2
1 2
2 1
,
.
dx
x
dt
dx
a x
a x
dt





 


(12.10) 
Разделив второе уравнение системы (12.9) на первое получаем 
2
1
1
2
1
2
dx
x
a
a
dx
x
  
. 
(12.11) 
Решение этого уравнения при заданных начальных условиях (12.9) яв-
ляется искомой фазовой траекторией
2
1
( )
x
f x

, 
(12.12) 
вид которой зависит от расположения корней 
1
2
,
 
характеристического 
уравнения, соответствующего уравнению (12.8): 
2
1
2
0
a
a





. 
(12.13) 
Рассмотрим конкретный пример. Пусть, например, 
1
0
a

.
Тогда в со-
ответствии с (12.13) имеем пару чисто мнимых корней, а уравнение (12.11) 
можно записать в виде 
2
2
2 1
1
x dx
a x dx
 
. 
(12.14) 

98 
Интегрируя обе части (12.14) получаем 
2
2
2
2 1
x
a x
С


. 
(12.15) 
Подставляя в (2.15) начальные условия (12.9) 
0
(0)
x
x

, 
0
(0)
x
x

полу-
чаем постоянную интегрирования: 
2
2
0
2 0
С x
a x


. 
(12.16) 
Таким образом мы получили уравнение эллипса с полуосями 
2
2
0
2 0
x
a x

,


2
2
0
2 0
2
/
x
a x
a

, 
(12.17) 
т.е. траекторию (12.12) с особой точкой типа центр, что, как и следовало 
ожидать, соответствует случаю пары чисто мнимых корней (п. 6 в табл. 
12.1). 
Тот же результат можно получить, записав решение, соответствующее 
паре чисто мнимых корней, в виде 
1
Аsin(
)
x
x
t
 
 

;
2
А cos(
)
x
x
t

 
 

, 
(12.18) 
где 
2
а


. 
Перепишем соотношения (12.18) в виде 
1
sin(
)
А
x
t
 


;
2
cos(
)
А
x
t
 



.
(12.19) 
Возведем обе части равенств в (2.19) в квадрат и сложим их. Тогда с 
учетом того 
2
2
sin (
)
cos (
) 1
t
t
 
 




, как и следовало ожидать, полу-
чаем уравнение эллипса (12.16). 
12.5. Понятие макроструктуры фазового пространства 
Если 


1
2
,
,
P x x


1
2
,
Q x x
– кусочно-линейные функции, исходная нели-
нейная система (12.5) может быть представлена в виде совокупности раз-
личных линейных систем дифференциальных уравнений, каждая из кото-
рых будет справедлива в некоторой подобласти фазовой плоскости 
1
2
,
x x
. 

99

В каждой подобласти фазовые траектории могут быть определены так, 
как описано выше. «Сшивая» траектории, принадлежащие соседним обла-
стям с совпадающими координатами на границах, можно построить фазо-
вый портрет на всей плоскости. Фазовые траектории в разных подобластях 
могут иметь различный характер. Границы этих областей называют 
осо-
быми линиями
. Они определяют 
макроструктуру
пространства нелинейной 
системы. 
В табл. 12.2 приведены примеры простейших макроструктур нелиней-
ных систем. 
Таблица 12.2 
№ 
п/п 
Типы особых точек 
и особых линий 
Фазовая картина 
1 
Устойчивый предельный цикл (неустойчивый в ма-
лом, устойчивый в большом) 
2 
Неустойчивый предельный цикл (устойчивый в ма-
лом, неустойчивый в большом) 
3 
Неустойчивый предельный цикл, «вложенный» в 
устойчивый предельный цикл 
4 
Область с устойчивой точкой типа центр, ограничен-
ная сепаратрисами, пересечения которых образуют 
два седла 
Если построен фазовый портрет системы, то можно сделать заключе-
ние о характере движений в системе и ее устойчивости при различных 
начальных условиях. 
12.6. Метод точечных отображений 
Метод предназначен для анализа нелинейных систем, макростуктура 
которых представляет собой множество подобластей с различными типами 
движений в каждой области. Идея метода состоит в том, чтобы в фазовом 
пространстве построить соотношение, позволяющее множеству точек од- 

100 
ной поверхности поставить в соответствие 
множество точек другой поверхности, кото-
рые могут быть особыми для разных обла-
стей. 
Для систем второго порядка существо 
дела сводится к отображению множества то-
чек одной особой линии в другую. Для этого 
фазовая плоскость разбивается линиями на 
области (рис. 12.2), для каждой из которых 
может быть получено точное аналитическое 
соотношение фазовой траектории вида (12.12). Затем траектории областей, 
имеющих общую особую линию, последовательно «сшиваются» так, чтобы 
выписать необходимое отображение точек 
0
x
начальной особой линии в 
точки 
N
x
конечной: 
1
0
2
1
0
1
0
1
0
(
)
( )
( (
))
(
)
...
(
)
N
N
x
f x
x
f x
f f x
f x
x
f
x






 

, (12.20) 
Чаще всего рассматривают точечное отображение полупрямой 
Ox
са-
мой в себя: 
0
(
)
x
f x

. 
(12.21) 
Такое представление значительно упрощает анализ устойчивости си-
стем: 
0
x
x

– система устойчива; 
0
x
x

– система неустойчива; 
0
x
x

– предельный цикл, который может быть как устойчивым авто-
колебательным процессом, так и быть границей устойчивости системы в ма-
лом, либо может соответствовать особому случаю бифуркации. 

жүктеу/скачать 3,95 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: