Лекции по теории управления : учебное пособие
Метод фазового пространства
жүктеу/скачать 3,95 Mb. Pdf көрінісі
|
Фурсов В.А. Лекции по теории управления 2021
| 12.2. Метод фазового пространства
Этот метод исследования нелинейных динамических систем основан на изучении возможных движений системы в фазовом пространстве . Тер- мин фазовое пространство применяется преимущественно в теории нели- нейных систем и в некотором смысле является синонимом термина про- странство состояний . Фазовым пространством (пространством состояний) называется про- странство переменных 1 2 , ,..., n x x x динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением 1 2 , ,..., , , 1, i i n x f x x x t i n , (12.1) где 1 2 , ,..., n x x x – зависимые переменные; t – независимая переменная; i f – функции, удовлетворяющие условиям существования решений при задан- ных начальных условиях ( 0 t t ) : 0 0 0 1 1 2 2 (0) , (0) ,..., (0) n n x x x x x x . (12.2) В фазовом пространстве (пространстве состояний) текущие значения 1 2 ( ), ( ),..., ( ) n x t x t x t в каждый момент времени t являются координатами изоб- ражающей точки . При изменении времени t образуется геометрическое место (изобра- жающих) точек, которые образуют фазовую траекторию . 95 Множеству всех возможных начальных значений (12.2) будет соответ- ствовать множество фазовых траекторий. Совокупность этих траекторий в фазовом пространстве 1 2 , ,..., n x x x образует фазовую картину движения . Если фазовое пространство 2-х мерное, т.е. может быть представлено в виде фазовой картины на плоскости, то говорят о фазовом портрете движения . Точки фазового пространства, для которых 1 2 , ,..., , 0, 1, i n f x x x t i n , (12.3) называются особыми . Они являются состояниями равновесия системы, т.к. при этом 0, i x 1, i n . Особые точки могут быть изолированными или об- разовывать некоторую область (отрезок). Замкнутые фазовые траектории, для которых 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 , ,..., , , ,..., , , 1, i n i n f x x x t f x x x t T i n , (12.4) где T const изображают периодические движения с периодом T . Эти дви- жения могут быть изолированными или образовывать некоторую область. Особые точки и замкнутые траектории могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми в зависимости от того являются они элементами при- тяжения или отталкивания для окрестных траекторий. Поверхности в фазо- вом пространстве (линии на фазовой плоскости), которые служат элемен- тами притяжения или отталкивания для всех окрестных траекторий, называются сепаратрисными . Метод фазового пространства состоит в определении либо отдельных фазовых траекторий, либо всей фазовой картины движения, характеризую- щей такие свойства системы как существование и устойчивость установив- шихся движений, характер переходных процессов и др. Метод наиболее наглядный, если пространство состояний имеет 2-й порядок, т.е. фазовая картина движения является фазовым портретом. жүктеу/скачать 3,95 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|