Потенциал электростатического поля

 

14 

зываемой потенциалом: 

0

1

Q

U

.                                                  (1.18) 

П о т е н ц и а л   υ  в  какой-либо  точке  электростатического  поля  есть  фи-

зическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного поло-

жительного заряда, помещенного в эту точку. 

Из формул (1.18) и (1.19) следует, что потенциал поля, создаваемого то-

чечным зарядом Q, равен 

r

Q

4

1

0

.                                               (1.19) 

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении 

заряда Q

o

 из точки 1 в точку 2 (см. (1.15), (1.18), (1.19)), может быть представ-

лена как 

2

1

0

2

1

12

Q

U

U

A

,                              (1.20) 

т.е.  равна  произведению  перемещаемого  заряда  на  разность  потенциалов  в 

начальной и конечной точках. Р а з н о с т ь  п о т е н ц и а л о в  двух точек 1 и 2 

в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами по-

ля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 

2. 

Если перемещать заряд Q

0

 из произвольной точки за пределы поля, т.е. в 

бесконечность,  где  по  условию  потенциал  равен  нулю,  то  работа  сил  элек-

тростатического поля, согласно (1.20), 

A

∞

 = Q

0

υ, 

откуда 

Q

А

.                                                    (1.21) 

Таким  образом,  п о т е н ц и а л   -  физическая  величина,  определяемая  ра-

ботой  по  перемещению  единичного  положительного  заряда  при  удалении 

его из данной точки в бесконечность. Эта работа численно равна работе, со-

вершаемой  внешними  силами  (против  сил  электростатического  поля)  по  пе-

ремещению  единичного  положительного  заряда  из  бесконечности  в  данную 

точку поля. Из выражения (1.18) следует, что единица потенциала  - в о л ь т  

(В): 1 В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает по-

тенциальной энергией 1 Дж (1 В =1 Дж/Кл). 

Из формул (1.17) и (1.18) вытекает, что если поле создается несколькими за-

рядами,  то  потенциал  поля  системы  зарядов  равен  алгебраической  сумме  по-

тенциалов всех этих зарядов: 

n

1

i

i

i

0

n

1

i

i

r

Q

4

1

U

. 

 

15 

ЛЕКЦИЯ №4 

1.8. Связь напряженности с потенциалом. 

Эквипотенциальные поверхности 

Найдем  взаимосвязь  между  напряженностью  электростатического  поля,  яв-

ляющейся  его  силовой  характеристикой,  и  потенциалом  -  энергетической  ха-

рактеристикой поля 

Работа  по  перемещению  единичного  точечного  положительного  заряда  из 

одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены беско-

нечно  близко  друг  к  другу  и  x

2

-x

1

= x,  равна  E∙Q∙ х.  Та  же  работа  равна 

Q

)

(

Q

2

1

. Приравняв оба выражения, можем записать 

x

E

x

,                                                 (1.22) 

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование произ-

водится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для оси у и z, можно 

найти вектор 

E



: 

k

z

j

y

i

x

E









. 

где  i



, 

j



,  k



 - единичные векторы координатных осей х, у, z. 

Из определения градиента следует, что выражение 

x

E

  можно  запи-

сать как 

grad

E



,    или     

E



,                           (1.23)                          

где 

k

z

j

y

i

ч







  -  набла-оператор.  Следовательно,  напряженность 

E поля равна градиенту потенциала со знаком минус. 

Знак минус определяется тем, что вектор напряженности 

E



 поля направ-

лен в сторону убывания потенциала. 

Для  графического  изображения  распределения  потенциала  электростати-

ческого  поля  пользуются  э к в и п о т е н ц и а л ь н ы м и   п о в е р х н о с т я м  и. 

Линии напряженности, а следовательно, вектор 

E



 всегда перпендикулярны 

к  эквипотенциальным  поверхностям.  Поэтому  работа  по  перемещению  за-

ряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю. 

Эквипотенциальных  поверхностей  вокруг  каждого  заряда  и  каждой  сис-

темы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно 

проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними 

эквипотенциальными  поверхностями  были  одинаковы.  Тогда  густота  экви-

потенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля 

в  разных  точках.  Там,  где  эти  поверхности  расположены  гуще,  напря-

женность поля больше. 

 

16 

 

Рис. 14 

 

На  рис.14  для  примера  показан  вид  линий  напряженности  (штриховые 

линии)  и  эквипотенциальных  поверхностей  (сплошные  линии)  полей  поло-

жительного  точечного  заряда  (а)  и  заряженного  металлического  цилиндра, 

имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б). 

1.9. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля 

Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позво-

ляет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между 

двумя произвольными точками этого поля. 

1. Поле  р а в н о м е р н о   з а р я ж е н н о й   б е с к о н е ч н о й   плоск о с т и   

определяется  формулой  Е=

0

2

,  где 

  -  поверхностная  плотность  заряда. 

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях xi и х

2 

от 

плоскости (используем формулу (1.22)), равна 

2

1

2

1

X

X

X

X

1

2

0

0

2

1

x

x

2

dx

2

Edx

 

2.  П о л е         д в у х         б е с к о н е ч н ы х       п а р а л л е л ь н ы х       р а з н о  

и м е н н о       з а р я ж е н н ы х       п л о с к о с т е й             определяется    формулой 

0

    Разность потенциалов  между  плоскостями, расстояние между  кото-

рыми равно d (см. (1.22)), равна 

d

0

d

0

0

0

x

2

1

d

dx

dx

.                                 (1.24) 

3.      Поле    р а в н о м е р н о       з а р я ж е н н о й       с ф е р и ч е с к о й       п о -

в е р х н о с т и    радиуса R с общим зарядом Q вне сферы (г > R) вычисляется 

по формуле 

2

0

4

1

r

Q

 

 

17 

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях п и 

г

2

 от центра сферы (г

}

 > R, r

2

 > R), равна 

2

2

1

r

1

r

2

1

0

2

0

r

r

2

1

r

1

r

1

4

Q

dr

r

Q

4

1

dr

.                         (1.25) 

 

Рис. 15 

Если принять 

r

r

1

 и 

2

r

то потенциал по-

ля  внесферической  поверхности  задается  выра-

жением 

r

4

Q

0

(ср. с формулой (1.19)). 

График зависимости приведен на рис. 15 

 

4.  Поле  р а в н о м е р н о   з а р я ж е н н о г о   ц и л и н д р а   радиуса  R, 

заряженного с линейной плотностью х, вне цилиндра (г > R) определяется фор-

мулой  

r

2

1

0

. Следовательно, разность потенциалов между двумя точка- 

ми, лежащими на расстояниях 

1

r

 и 

2

r

 от оси заряженного цилиндра (r

1

>R, r

2

>R), 

равна 

2

1

2

1

r

r

r

r

1

2

0

0

2

1

r

r

ln

2

r

dr

2

dr

. 

                (1.26) 

 

1.10. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков 

Диэлектрики состоят из атомов и молекул. Так как положительный заряд 

всех ядер молекулы равен суммарному заряду электронов, то молекула в це-

лом  электрически  нейтральна.  Бели  заменить  положительные  заряды  ядер 

молекул  суммарным  зарядом  +Q,  находящемся  в  центре  "тяжести"  положи-

тельных зарядов, а заряд всех электронов - суммарным отрицательным заря-

дом -Q, находящемся в центре "тяжести" отрицательных зарядов, то молеку-

лу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим момен-

том, определенным по формуле (







Q

Р

), где 



 - плечо диполя. 

Первую группу диэлектриков (N

2

, Н

2

, О

2

, СО

2

,...) составляют вещества, мо-

лекулы которых имеют симметричное строение, т.е. центры "тяжести" поло-

жительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрическо-

го  поля  совпадают  и,  следовательно,  дипольный  момент  молекулы  р



  равен 

нулю. М о л е к у л ы  таких диэлектриков называются н е п о л я р н ы м и .  Под 

действием  внешнего  электрического  поля  заряды  неполярных  молекул 

смещаются  в противоположные  стороны  (положительные  по  полю,  отрица-

 

18 

тельные против поля), и молекула приобретает дипольный момент. 

Второю группу диэлектриков (Н

2

О, NH

3

, SO

2

, CO2,. .) составляют вещест-

ва, молекулы которых имеют асимметричное строение, т.е. центры "тяжести" 

положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти 

молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным 

моментом.  М о л е к у л ы   таких  диэлектриков  называются  п о л я р н ы м и .  

При  отсутствии  внешнего  поля,  однако,  дипольные  моменты  полярных  мо-

лекул  вследствие  теплового  движения  ориентированы  в  пространстве  хао-

тично,  и  их  результирующий  момент  равен  нулю.  Если  такой  диэлектрик 

поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть 

диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент. 

Третью  группу  диэлектриков  (NaCl,  KCI,  КВг,...)  составляют  вещества,  мо-

лекулы  которых  имеют  ионное  строение.  Ионные  кристаллы  представляют  со-

бой  пространственные решетки  с правильным  чередованием  ионов  разных  зна-

ков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать 

их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При 

наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некоторая де-

формация  кристаллической  решетки  или  относительное  смещение  подрешеток, 

приводящее к возникновению дипольных моментов. 

Таким  образом,  внесение  всех  трех  групп  диэлектриков  во  внешнее  элек-

трическое поле приводит к возникновению отличного от нуля результирующего 

электрического  момента  диэлектрика  или,  иными  словами,  к  поляризации  ди-

электрика. П о л я р и з а ц и е й  диэлектрика называется процесс ориентации ди-

полей  или  появления  под  воздействием  электрического  поля  ориентированных 

по полю диполей. 

Соответственно  трем  группам  диэлектриков  различают  три  вида  поляриза-

ции:  электронная,  или  д е ф о р м а ц и о н н а я ,  п о л я р и з а ц и я   диэлектрика 

с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуци-

рованного дипольного момента за счет деформации электронных орбит. 

Ориентационная, или д и п о л ь н а я ,  п о л я р и з а ц и я  диэлектрика с по-

лярными  молекулами,  заключающаяся  в  ориентации  имеющихся  дипольных 

моментов молекул по полю. Естественно, что тепловое движение препятствует 

полной ориентации молекул, но в результате совместного действия обоих фак-

торов (электрическое поле и  тепловое движение) возникает  преимущественная 

ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, 

чем больше напряженность электрического поля и ниже температура. 

Ионная  поляризация  диэлектриков  с  ионными  кристаллическими  решетка-

ми, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, 

а отрицательных - против поля, приводящем к возникновению дипольных мо-

ментов. 

 

 

 

19 

1.11. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике 

 

При  помещении  диэлектрика  во  внешнее  электростатическое  поле  он  по-

ляризуется,  т.е.  приобретает  отличный  от  нуля  дипольный  момент 

i

v

p

р





, 

где 

i

р



  -  дипольный  момент  одной  молекулы.  Для  количественного  описания 

поляризации  диэлектрика  пользуются  векторной  величиной  -  поляризо-

ванностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика: 

V

P

V

P

P

i

i

V







.                                     

    (1.27) 

Из опыта следует, что для большого класса диэлектриков (за исключением 

сегнетоэлектриков)  поляризованность 

P



  линейно  зависит  от  напряженности 

поля Е. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то 





0

P

,                                              

(1.28) 

где  - диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующая свойства 

диэлектрика;   - величина безразмерная; притом всегда  >0и для большинства 

диэлектриков  (твердых  и  жидких)  составляет  несколько  единиц  (хотя,  напри-

мер, для спирта 

25, для воды   =80). 

 

Рис. 16 

Для  установления  количественных  зако-

номерностей  поля  в  диэлектрике  внесем  в 

однородное  внешнее  электростатическое 

поле 

0



 (создается двумя бесконечными па-

раллельными  разноименно  заряженными 

плоскостями) пластинку из однородного ди-

электрика,  расположив  ее  так,  как  показано 

на рис.16. 

Под действием поля диэлектрик поляри-

зуется,  т.е.  происходит  смещение  зарядов: 

положительные  смещаются  по  полю,  отри-

цательные - против поля. 

В результате этого на правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной 

плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью 

', на  левой  - отрицательного  заряда  с поверхностной плотностью 

'. Эти 

некомпенсированные  заряды,  появляющиеся  в  результате  поляризации  ди-

электрика,  называются  связанными.  Так    как  их  поверхностная  плотность   

меньше плотности свободных зарядов плоскостей, то не все поле 



 компенси-

руется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь 

диэлектрик, другая же часть - обрывается на связанных зарядах. Следовательно, 

поляризация  диэлектрика  вызывает  уменьшение  в  нем  поля  по  сравнению  с 

первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика 

0





. 

 

 

20 

Таким  образом,  появление  связанных  зарядов  приводит  к  возникновению 

дополнительного  электрического  поля 



  (поля,  создаваемого  связанными  за-

рядами), которое направлено против внешнего поля 



 (поля, создаваемого сво-

бодными зарядами) и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика 







0

. 

Поле  

'

'



(поле, созданное двумя бесконечно заряженными плоскостями), 

поэтому 

'





.                                            

(1.29) 

Определим  поверхностную  плотность  связанных  зарядов 

'

.  Полный  ди-

польный момент пластинки диэлектрика

PSd

PV

р

V

, где S - площадь грани 

пластинки, d - ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент ра-

вен  произведению  связанного  заряда  каждой  грани 

S

'

'

Q

на  расстояние  d 

между ними, т.е.

Sd

'

р

V

. Таким образом, 

Sd

'

PSd

, или 

 

P

'

                                                        (1.30) 

т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности 

Р. Подставив в (1.29) выражения (1.30) и (1.28), получим 







0

,  

откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна 

0

0

1







 

                             (1.31) 

Безмерная величина 

1

                                                       (1.32) 

называется д и э л е к т р и ч е с к о й  п р о н и ц а е м о с т ь ю  с р е д ы .  Срав-

нивая  ( 1 . 3 1 )   и  (1.32),  видим,  что  е  показывает,  во  сколько  раз  поле  ос-

лабляется диэлектриком, характеризуя количественно свойство диэлек-

трика поляризовался в электрическом поле. 

 

1.12. Электрическое смещение. 

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике 

Напряженность  электростатического  поля  зависит  от  свойств  среды.  В 

однородной  изотропной  среде  напряженность  поля  Е  обратно  пропорцио-

нальна  с  Вектор  напряженности 



,  переходя  через  границу  диэлектриков, 

претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при 

 

21 

расчете электростатических полей. Поэтому оказалось необходимым помимо 

вектора напряженности характеризовать поле еще в е к т о р о м  э л е к т р- 

и ч е с к о г о с м е щ е н и я ,  который для электрически изотропной среды по 

определению равен 





0

D

.                                                 (1.33) 

Используя  формулы  (1.32)  и  (1.27),  вектор  электрического  смещения 

можно выразить как 

P

D

0

.                                              (1.34) 

Единица электрического смещения - кулон на метр в квадрате (Кл/м

2

). 

Рассмотрим,  с  чем  можно  связать  вектор  электрического  смещения  Свя-

занные заряды появляются в диэлектрике при наличии внешнего электроста-

тического  поля,  создаваемого  системой  свободных  электрических  зарядов, 

т.е.  в  диэлектрике  на  электростатическое  поле  свободных  зарядов  наклады-

вается  дополнительное  поле  связанных  зарядов  Результирующее  поле  в  ди-

электрике описывается  вектором напряженности 



,  и потому  он  зависит от 

свойств  диэлектрика.  Вектором 

D



  описывается  электростатическое  поле, 

создаваемое  свободными  зарядами.  Связанные  заряды,  возникающие  в  ди-

электрике,  могут  вызвать,  однако,  перераспределение  свободных  зарядов, 

создающих поле. 

Поэтому  вектор 

D



  характеризует  электростатическое  поле,  создаваемое 

свободными зарядами, но при таком их распределении в пространстве, какое 

имеется при наличии диэлектрика 

Аналогично,  как  и  поле 



,  поле 

D



  изображается  с  помощью  л и н и й  

э л е к т р и ч е с к о г о   с м е щ е н и я ,   направление  и  густота  которых  опреде-

ляются точно так же, как и для линий напряженности. 

Линии вектора 



  могут  начинаться  на  любых  зарядах  -  свободных  и  свя-

занных, в то время как линии вектора 

D



 - только на свободных зарядах. Че-

рез области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора 

D



  прохо-

дят не прерываясь. 

Для  произвольной  замкнутой  поверхности  S  поток  вектора 

D



  сквозь  эту 

поверхность 

S

S

n

D

dS

D

S

d

D

Ф





 

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике: 

i

n

1

i

S

S

n

Q

dS

D

S

d

D





,                                   (1.35) 

т.е. поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь 

произвольную  замкнутую  поверхность  равен  алгебраической  сумме  заклю-

ченных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов. 

В такой форме теорема Гаусса справедлива для электростатического поля 

как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной 

 

22 

сред. 

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: