Условия на границе двух диэлектриков

 

23 

Заменив согласно D = ε

0

εE проекции вектора Е проекциями вектора D, де-

ленными на ε

0

ε, получим соотношение 

2

0

2

1

0

1

D

D

, 

из которого следует, что 

2

1

2

1

D

D

.                                                (1.39) 

Теперь возьмем на границе диэлектриков воображаемую цилиндрическую 

поверхность  высоты  h  (рис.  18).  Основание  S

1

  расположено  в  первом  диэлек-

трике,  основание  S

2

  –  во  втором.  Оба  основания  одинаковы  по  величине               

(S

1

 = S

2

 = S) и настолько малы, что в пределах каждого из них поле можно счи-

тать  однородным.  Применим  к  этой  поверхности  теорему  Гаусса 

i

D

q

Ф

. 

Если  сторонних  зарядов  на  границе  между  диэлектриками  нет,  правая  часть 

равна нулю. Следовательно 

0

Ф

D

. 

Поток через основание S

1

 равен D

1n

S, где D

1n

 – проекция вектора D в пер-

вом  диэлектрике  на  нормаль  n

1

.  Аналогично  поток  через  основание  S

2

  равен 

D

2n

S, где D

2n

 –  проекция вектора D во втором диэлектрике на нормаль n

2

. По-

ток через боковую поверхность можно представить в виде 

бок

n

S

D

, где 

n

D

− 

значение  D

n

,  усредненное  по  всей  боковой  поверхности,  S

бок

  –  величина  этой 

поверхности. Таким образом можно написать 

0

S

D

S

D

S

D

Ф

бок

n

n

2

n

1

D

.                               (1.40) 

Если устремить высоту цилиндра h к нулю, S

бок

 также будет стремиться к 

нулю. Поэтому в пределе получится соотношение 

n

2

n

1

D

D

. 

Здесь D

in

 – проекция на n

i

 вектора D в i-м диэлектрике в непосредственной 

близости к его границе с другим диэлектриком. Знаки проекций оказались раз-

ными вследствие того, сто нормали n

1 

и n

2

 к основаниям цилиндра имеют про-

тивоположные направления. Если проектировать D

1

 и D

2

 на одну и ту же нор-

маль, получится условие 

n

2

n

1

D

D

.                                                    (1.41) 

Заменив  согласно  D  =  ε

0

εЕ  проекции  D  соответствующими  проекциями 

вектора Е, умноженными на ε

0

ε, получим соотношение 

ε

0

ε

1

Е

1n

 = ε

0

ε

2

Е

2n

, 

из которого следует, что 

1

2

n

2

n

1

E

E

.                                                   (1.42) 

Полученные  нами  результаты  означают,  что  при  переходе  через  границу 

раздела  двух  диэлектриков  нормальная  составляющая  вектора  D  и  тангенци-

альная  составляющая  вектора  Е  изменяются  непрерывно.  Тангенциальная  же 

составляющая  вектора  D  и  нормальная  составляющая  вектора  Е  при  переходе 

 

24 

через границу раздела претерпевают разрыв. 

Соотношения  (41.38,  (1.39),  (1.41)  и  (1.42)  определяют  условия,  которым 

должны  удовлетворять  векторы  Е  и  D  на  границе  двух  диэлектриков  (в  том 

случае,  если  на  этой  границе  нет  сторонних  зарядов).  Мы  получили  эти  соот-

ношения для электростатического поля. Однако они справедливы и для полей, 

изменяющихся со временем. 

Найденные  нами  условия  справедливы  и  для  границы  диэлектрика  с  ва-

куумом. В этом случае одну из диэлектрических проницаемостей  нужно поло-

жить равной единице. 

Заметим, что условие (1.41) можно получить, исходя из того факта, что ли-

нии смещения проходят через границу раздела двух диэлектриков, не прерыва-

ясь. В соответствии с правилом проведения линий число линий, приходящих к 

площадке  ΔS  из  первого  диэлектрика,  равно  D

1

ΔS

1

=D

1

ΔScosα

1

.  Аналогично 

число  линий,  выходящих  из  площадки  ΔS  во  второй  диэлектрик,  равно 

D

2

ΔS

2

=D

2

ΔScosα

2

.  Если  линии  не  терпят  на  границе  разрыва,  оба  эти  числа 

должны быть одинаковыми: 

D

1

ΔScosα

1

 = D

2

ΔScosα

2

. 

Сократив на ΔS и приняв во внимание, что произведение Dcosα  дает вели-

чину нормальной составляющей вектора D, придем к условию (1.41). 

На  границе  диэлектриков  линии  смещения  терпят  излом  (преломляются), 

вследствие  чего  уголь  α  между  нормалью  к  поверхности  раздела  и  линией  D 

изменяется. Из рис. 4 следует, что 

n

2

2

n

1

1

2

1

D

D

:

D

D

tg

:

tg

, 

откуда с учетом формул (5) и (7) получается закон преломления линий электри-

ческого смещения: 

2

1

2

1

tg

tg

.                                               (1.42) 

D

D

S

S

S

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

D

D

1

D

1

D

2

D

2

D

2

2

n

1n

 

Рис. 19                                                              Рис. 20 

При переходе в диэлектрик с меньшей ε угол, образуемый линиями смеще-

ния с нормалью, уменьшается, следовательно, линии располагаются реже; при 

переходе в диэлектрик с большей ε линии смещения, напротив, сгущаются. 

 

 

25 

1.14. Силы, действующие на заряд в диэлектрике 

 

Если в электрическое поле в вакууме внести заряженное тело столь малых 

размеров, что внешнее поле в пределах тела можно считать однородным, то на 

тело будет действовать сила 

qE

F

.                                                    (1.43) 

Чтобы заряженное тело поместить в поле, созданное в диэлектрике, в по-

следнем  нужно  сделать  полость.  В  жидком  или  газообразном  диэлектрике  та-

кую полость образует само тело, вытесняя диэлектрик из занимаемого им объ-

ема. Поле внутри полости Е

пол

 будет отлично от поля Е в сплошном диэлектри-

ке.  Таким  образом,  силу,  действующую  на  помещенное  в  полость  заряженное 

тело,  нельзя  вычислять  как  произведение  заряда  q  на  напряженность  поля  Е, 

существовавшую в диэлектрике до внесения в него тела. 

Вычисляя  силу,  действующую  на  заряженное  тело  в  жидком  или  газооб-

разном диэлектрике, нужно учитывать еще одно обстоятельство. На границе с 

телом в диэлектрике возникают механические натяжения, что приводит к появ-

лению дополнительной механической силы F

нат

, действующей на тело. 

Таким образом,  сила,  действующая  на заряженное  тело  в диэлектрике, не 

может быть определена по формуле (1.43), и задача ее вычисления обычно бы-

вает  весьма  сложной.  Для  жидкого  и  газообразного  диэлектрика  вычисления 

дают любопытный результат. Оказывается, что результирующая электрической 

силы  qЕ

пол

  и  механической  силы  F

нат

  равна  в  точности  qЕ,  где  Е  –  напряжен-

ность поля в сплошном диэлектрике: 

qE

F

qE

F

нат

пол

.                                      (1.44) 

Напряженность  поля,  создаваемого  в  однородном  безграничном  диэлек-

трике точечным зарядом, определяется формулой 

2

0

r

q

4

1

E

. Следовательно, 

для силы взаимодействия двух точечных зарядов, погруженных в однородный 

безграничный диэлектрик, получается выражение 

2

2

1

0

r

q

q

4

1

F

.                                            (1.45) 

Эта формула выражает закон Кулона для зарядов, находящихся в диэлек-

трике. Она справедлива только для жидких и газообразных диэлектриков. 

 

1.15. Сегнетоэлектрики 

 

Существует  группа  веществ,  которые  могут  обладать  спонтанной  (само-

произвольной)  поляризованностью  в  отсутствие  внешнего  поля.  Это  явление 

было первоначально открыто для сегнетовой соли, в связи с чем подобные ве-

щества получили название сегнетоэлектриков. 

 

 

 

26 

Сегнетоэлектрики отличаются от остальных диэлектриков рядом характер-

ных особенностей: 

1.

 

В то время как у обычных диэлектриков ε составляет несколько единиц, 

достигая в виде исключения нескольких десятков (у воды, например ε=81), ди-

электрическая  проницаемость  сегнетоэлектриков  бывает  порядка  нескольких 

тысяч. 

Е

Р

2

3

Р

Е

с

r

 

Рис. 21 

2.

 

Зависимость  Р  от  Е  не  является  линейной 

(ветвь  1  на  кривой,  изображенной  на  рис. 

21).  Следовательно,  диэлектрическая  про-

ницаемость  оказывается  зависящей  от  на-

пряженности поля. 

3.

 

При  изменениях  поля  значения  поляризо-

ванности  Р  (а  следовательно  и  смещения 

D) отстают от напряженности поля Е, в ре-

зультате чего Р и D определяются не толь-

ко  величиной  Е  в  данный  момент,  но  и 

предшествующими    значениями    Е,    т.е.  

зависят  от  предыстории  диэлектрика.  Это  явление  называется  гистерезисом. 

При  циклических  изменениях  поля  зависимость  Р  от  Е  следует  изображенной 

на  рис.  21  кривой,  называемой  петлей  гистерезиса.  При  первоначальном 

включении поля поляризованность растет с Е в соответствии с ветвью 1 кривой. 

Уменьшение Р происходит по ветви 2. При обращении Е в нуль вещество со-

храняет значение поляризованности Р

r

, называемое остаточной поляризован-

ностью.  Только  под  действием  противоположно  направленного  поля  напря-

женности  Е

с

  поляризованность  становится  равной  нулю.  Это  значение  напря-

женности называется коэрцитивной силой. При дальнейшем изменении Е по-

лучается ветвь 3 петли гистерезиса, и т.д. 

Поведение  поляризованности  сегнетоэлектриков  аналогично  поведению 

намагниченности   ферромагнетиков. По  этой причине  сегнетоэлектрики назы-

вают иногда ферроэлектриками. 

Сегнетоэлектриками могут быть только кристаллические вещества, причем 

такие, у которых отсутствует центр симметрии. Так, например, кристаллы сег-

нетовой  соли  принадлежат  к  ромбической  системе.  Взаимодействие  частиц  в 

кристалле сегнетоэлектрика приводит к тому, что их дипольные моменты спон-

танно  устанавливаются  параллельно  друг  другу.  В  исключительных  случаях 

одинаковая  ориентация  дипольных  моментов  распространяется  на  весь  кри-

сталл. Обычно же в кристалле возникают области, в пределах каждой из кото-

рых дипольные моменты параллельны друг другу, однако направления поляри-

зации разных областей бывают различны, так что результирующий момент все-

го кристалла может быть равен нулю. Области спонтанной поляризации назы-

ваются также доменами. Под действием внешнего поля моменты доменов по-

ворачиваются как целое, устанавливаясь по направлению поля. 

 

 

27 

ЛЕКЦИЯ №5,6 

1.16. Равновесие зарядов на проводнике 

 

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь 

угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходи-

мо выполнение следующих условий: 

1. Напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю: 

Е = 0.                                                     (1.46)  

В соответствии с 

Е

 это означает, что потенциал внутри проводника дол-

жен быть постоянным (υ = const). 

2.  Напряженность  поля  на  поверхности  проводника  должна  быть  в  каждой 

точке направлена по нормали к поверхности: 

Е = Е

n

.                                                   (1.47) 

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эк-

випотенциальной. 

Если  проводящему  телу  сообщить  некоторый  заряд  q,  то  он  распределится 

так,  чтобы  соблюдались  условия  равновесия.  Представим  себе  произвольную 

замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равно-

весии  зарядов  поле  в  каждой  точке  внутри  проводника  отсутствует;  поэтому 

поток  вектора  электрического  смещения  через  поверхность  равен  нулю.  Со-

гласно  теореме  Гаусса  сумма  зарядов  внутри  поверхности  также  будет  равна 

нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри 

проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком 

месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов – все они распре-

деляются по поверхности проводника с  некоторой плотностью σ. 

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов 

нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, ни-

как  не  отразится  на  равновесном  расположении  зарядов.  Таким  образом,  из-

быточный  заряд  распределяется  на  полом  проводнике  также,  как  и  на  сплош-

ном, т. е. по его наружной поверхности. На поверхности полости  в состоянии 

равновесия  избыточные  заряды  располагаться  не  могут.  Этот  вывод  вытекает 

также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный за-

ряд  q,  взаимно  отталкиваются  и,  следовательно,  стремятся  расположиться  на 

наибольшем расстоянии друг от друга. 

 

Рис. 22 

Представим  себе  небольшую  цилиндриче-

скую  поверхность,  образованную  нормалями 

к поверхности проводника и основаниями dS, 

одно  из  которых расположено  внутри, а  дру-

гое  вне  проводника  (рис.  22).  Поток  вектора 

электрического  смещения  через  внутреннюю 

часть поверхности равен нулю, так как внутри 

проводника Е, а значит, и D равны нулю. 

 

28 

Вне  проводника  в  непосредственной  близости  к  нему  напряженность  поля  Е 

направлена по нормали н поверхности. Поэтому для выступающей наружу бо-

ковой поверхности цилиндра  D

n

=0,  а  для  внешнего  основания  D

n

=D  (внешнее 

основание  предполагается  расположенным  очень  близко  к  поверхности  про-

водника). Следовательно, поток смещения через рассматриваемую поверхность 

равен DdS, где D – смещение в непосредственной близости н поверхности про-

водника. Внутри цилиндра содержится сторонний заряд σdS (σ - плотность за-

ряда в данном месте поверхности проводника). Применив теорему Гаусса, по-

лучим: DdS = σdS, т. е. D = σ. Отсюда следует, что напряженность поля вблизи 

поверхности проводника равна 

0

Е

,                                                 (1.48)   

где ε - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей проводник. 

 

Рис. 23 

Рассмотрим  поле,  создаваемое  изобра-

женным  на  рис.  23  заряженным  провод-

ником.  На  больших  расстояниях  от  про-

водника эквипотенциальные поверхности 

имеют характерную для точечного заряда 

форму сферы (на рисунке из-за недостат-

ка  места  сферическая  поверхность  изо-

бражена  на  небольшом  расстоянии  от 

проводника; штриховыми линиями пока-

заны линии напряженности поля). По ме-

ре  приближения  к  проводнику  эквипо-

тенциальные поверхности становятся все 

более  сходными  с  поверхностью  проводника,  которая  является  эквипотенци-

альной.  Вблизи  выступов  эквипотенциальные  поверхности  располагаются  гу-

ще, значит, и напряженность поля здесь больше. Следовательно, плотность за-

рядов  на  выступах  особенно  велика  (см.  (1.48)).  К  такому  же  выводу  можно 

прийти,  учтя,  что  из-за  взаимного  отталкивания  заряды  стремятся  располо-

житься как можно дальше друг от друга. 

Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности распо-

ложены реже (рис. 23). Соответственно напряженность поля и плотность заря-

дов  в  этих  местах  будут  меньше.  Вообще,  плотность  зарядов  при  данном  по-

тенциале проводника определяется кривизной поверхности  - она растет с уве-

личением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением от-

рицательной  кривизны  (вогнутости).  Особенно  велика  бывает  плотность  заря-

дов  на  остриях.  Поэтому  напряженность  поля  вблизи  остриев  может  быть  на-

столько  большой,  что  возникает  ионизация  молекул  газа,  окружающего  про-

водник. Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют 

его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, ув-

лекая  с  собой  нейтральные  молекулы  газа.  В  результате  возникает  ощутимое 

движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьша-

 

29 

ется, он как бы стекает с острия и уносится ветром. поэтому такое явление на-

зывают истечением заряда с острия. 

 

1.17. Проводники в электростатическом поле 

Мели  поместить  проводник  во  внешнее  электростатическое  поле  или  его 

зарядить,  то  на  заряды  проводника  будет  действовать  электростатическое 

поле, в результате чего они начнут перемещаться Перемещение зарядов про-

должается  до  тех  пор,  пока  не  установится  равновесное  распределение  заря-

дов, при котором электростатическое поле внутри проводника обращается в 

нуль. Это происходит в течение очень короткого времени. 

Отсутствие поля внутри проводника означает, что потенциал во всех точках 

внутри  проводника постоянен  (

const),  т.е.  поверхность  проводника  в  элек-

тростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда следует, что  век-

тор  напряженности  поля  на  внешней  поверхности  проводника  направлен  по 

нормали  к  каждой  точке  его  поверхности.  Гели  бы  это  было  не  так.  то  под 

действием касательной составляющей  Е заряды начали бы по поверхности 

про водника  перемещаться,  что,  в  свою  очередь,  противоречило  бы  равно-

весному распределению зарядов. 

Если  проводнику  сообщить  некоторый  заряд  Q,  то  некомпенсированные 

заряды располагаются только на поверхности проводника. 

Напряженность электростатического поля на поверхности проводника оп-

ределяется поверхностной плотностью зарядов. 

Е=0

 

а                                                                     б 

Рис. 24 

Если  во  внешнее  электростатическое  поле  внести  нейтральный  провод-

ник,  то  свободные  заряды  (электроны,  ионы)  будут  перемещаться:  положи-

тельные - по полю, отрицательные - против поля (рис. 24, а). На одном конце 

проводника будет скапливаться избыток положительного заряда, на другом - 

избыток  отрицательного.  Эти  заряды  называются  и н д у ц и р о в а н н ы м и .  

Процесс будет происходить до тех пор, пока напряженность поля внутри про-

водника  не  станет  равной  нулю,  а  линии  напряженности  вне  проводника 

перпендикулярными  его поверхности (рис.  24,6).  Таким образом, нейтраль-

ный проводник, внесенный в электростатическое поле, разрывает часть линий 

напряженности; они заканчиваются на отрицательных индуцированных заря-

 

30 

дах и вновь начинаются на положительных. Индуцированные заряды распре-

деляются  на  внешней  поверхности  проводника.  Явление  перераспределения 

поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле 

называется э л е к т р о с т а т и ч е с к о й  и н д у к ц и е й .  

Из рис. 24,б следует, что индуцированные заряды появляются на провод-

нике вследствие смещения их под действием поля. 

Так  как  в  состоянии  равновесия  внутри  проводника  заряды  отсутствуют, 

то  создание внутри  него полости не  повлияет на конфигурацию расположе-

ния зарядов и тем самым на электростатическое поле. Следовательно, внутри 

полости  поле  будет  отсутствовать.  Если  теперь  этот  проводник  с  полостью 

заземлить, то потенциал во всех точках полости будет нулевым, т.е: полость 

полностью  изолирована  от  влияния  внешних  электростатических  полей.  На 

этом основана  э л е к т р о с т а т и ч е с к а я  з а щ и т а  -  экранирование тел, на-

пример,  измерительных  приборов,  от  влияния  внешних  электростатических 

полей. 

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: