Закон Ома. Сопротивление проводников

 

40 



U

1

S

1

,  

       (2.9) 

где величина  

1

, 

обратная удельному сопротивлению, называется  у д е л ь н о й   э л е к т -

р и ч е с к о й   п р о в о д и м о с т ь ю   вещества проводника. Ее единица 

- сименс на метр (См/м). Учитывая, что



U

- напряженность электриче-

ского поля в проводнике, 

j

S

I

  -  плотность  тока,  формулу  (2.9)  можно 

записать в виде 

j

.                                                    (2.10) 

Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке дви-

жутся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают. Поэто-

му формулу (2.10) можно записать в виде 





j

. 

                    (2.11) 

Выражение (2.11) з а к о н  О м а  в  д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й     

ф о р м е, связывающий плотность тока в любой точке внутри проводни-

ка  с напряженностью  электрического поля в  этой же  точке. Это соотно-

шение справедливо и для переменных полей. 

Опыт показывает, что в первом приближении изменение удельного со-

противления,  а  следовательно,  и  сопротивления,  в  зависимости  от  тем-

пературы описывается линейным законом: 

t

1

0

, 

t

1

R

R

0

, 

где   и 

0

, R и R

0

 - соответственно удельные сопротивления и сопротивления 

проводника при t=0°С, α - т е м п е р a т у р н ы й   к о э ф ф и ц и е н т     

с о п р о т и в л е н и я, для чистых металлов (при не очень низких темпера-

турах) близкий к 1/273 

1

К

  Значит,  температурная  зависимость  сопротивле-

ния может быть представлена в виде 

T

R

R

0

, 

где Е –термодинамическая температура. 

Качественная  температурная  зависимость  сопротивления  металла  пред-

ставлена  на  рис.27  (кривая  1).  Впоследствии  было  обнаружено,  что  сопро-

тивление  многих  металлов  (например  Al,  Pb,  Zn  и  др.)  и  их  сплавов  при 

очень низких температурах Т (0,14-20 К), называемых к р и т и ч е с к и м и, 

характерных  для  каждого  вещества,  скачкообразно  уменьшается  до  нуля 

(кривая 2), т.е. металл становится абсолютным проводником. 

 

 

41 

R

Т,К

1

2

r

k

 

Рис. 21 

Впервые  это  явление,  называемое    сверхпроводимостью    обнаружено  в 

1911году   Г.Камерлинг-Оннесом  для  ртути.   Явление   сверхпроводимости   

объясняется на основе квантовой теории. Практическое использование сверх 

проводящих  материалов (в обмотках сверхпроводящих магнитов, в системах 

памяти  ЭВМ  и  др.)  затруднено  из-за  низких  их  критических  температур. 

Правда,  в  настоящее  время  обнаружены  и  активно  исследуются  керамиче-

ские  материалы,  обладающие  сверхпроводимостью  при  температуре  выше 

100 К. На зависимости электрического сопротивления металлов от темпера-

туры основано действие т е р м о м е т р о в  с о п р о т и в л е н и я,  которые 

позволяют  по  градуированной  взаимосвязи  сопротивления  от  температуры 

измерять температуру с точностью до 0,003 К. 

Применение же в качестве рабочего вещества термометра сопротивле-

ния полупроводников, приготовленных по специальной технологии,- т е р 

м и с т о  р о в -  позволяет отмечать изменение температуры в миллионные 

доли Кельвин и использовать термисторы для измерения температур в случае 

малых габаритов полупроводников. 

 

ЛЕКЦИЯ №8 

 

2.4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца 

Рассмотрим однородный проводник, к концам которого приложено напря-

жение  U.  За  время  dt  через  сечение  проводника  переносится  заряд  dq=Idt. 

Так как ток представляет собой перемещение заряда dq под действием элек-

трического поля, то по формуле (1.20) работа тока 

dA = Udq = IUdt. 

                          (2.12) 

Если сопротивление проводника R, то, используя закон Ома (2.7), получим 

dt

R

U

Rdt

I

dA

2

2

 

                          (2.13) 

 

 

 

42 

Из (2.12) и (2.13) следует, что мощность тока 

R

U

R

I

UI

dt

dA

P

2

2

.                               (2.14) 

Если сила тока выражается в амперах, напряжение - в вольтах, сопротивление 

-в омах, то работа тока выражается в джоулях, а мощность - в ваттах. На прак-

тике также применяются внесистемные единицы работы тока: ватт-час (Вт∙ч) 

и  киловатт-час  (кВт∙ч).  1  Вт∙ч  -  работа  тока  мощностью  1  Вт  в  течение    

1 ч: 1 Вт∙ч=3600 Вт∙с=3,6∙10

3

 Дж; 1кВт∙ч=10

3

, Вт∙ч=3,6∙10

6

 Дж. 

Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся 

работа тока идет на его нагревание, и по закону сохранения энергии 

dQ = dA.                                              (2.15) 

Таким образом, используя выражения (2.15), (2.12) и (2.13), получим 

dt

R

U

Rdt

I

IUdt

dQ

2

2

.                                (2.16) 

Выражение (2.16) представляет собой  з а к о н  Д ж о у л я  - Л е н ц а ,   экс-

периментально  установленный  независимо  друг  от  друга  Дж.Джоулем  и 

Х.Ленцем. 

Выделим  в  проводнике  элементарный  цилиндрический  объем  V=dS



d

 

(ось  цилиндра  совпадает  с  направлением  тока),  сопротивление  которого 

dS

d

R



. По закону Джоуля - Ленца за время dt в этом объеме выделится те-

плота 

dVdt

j

dS

dt

idS

d

Rdt

I

dQ

2

2

2



. 

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объе-

ма, называется удельной т е п л о в о й  м о щ н о с т ь ю  тока. Она равна 

2

vE

jE

w

.                                              (2.17) 

Формула (2.17) является обобщенным выражением  з а к о н а  Джоуля - 

Л е н ц а   в  д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й   форме,  пригодным  для  любого  про-

водника. 

Тепловое действие тока находит широкое применение в технике, которое 

начиналось с открытия в 1873 г. русским инженером А.Н.Лодыгиным лампы 

накаливания.  На  нагревании  проводников  электрическим  током  основано 

действие электрических муфельных печей. 

 

2.5. Закон Ома для неоднородного участка цени 

 

Мы рассматривали закон Ома для однородного участка цепи, т.е. такого, 

в  котором  не  действует  э.д.с.  Теперь  рассмотрим  н е о д н о р о д н ы й   у ч а -

сток цепи, где действующую э.д.с. на участке 1-2 обозначим через ε

12

, при-

ложенную на концах участка разность потенциалов - через 

2

1

. 

 

43 

Если  ток  проходит  по  неподвижным  проводникам,  образующим  участок 

1-2,  то  работа  А  всех  сил  (сторонних  и  электростатических),  совершаемая 

над  носителями  тока,  по  закону  сохранения  и  превращения  энергии  равна 

теплоте, выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемеще-

нии заряда Q

0

 нa участке 1-2 

2

1

0

12

0

12

Q

Q

A

.                                 (2.18) 

Э.д.с.  ε

12

,  как  и  сила  тока  I,  -  величина  скалярная.  Ее  необходимо  брать 

либо с положительным, либо с отрицательным знаком в зависимости от зна-

ка  работы,  совершаемой  сторонними  силами.  Если  э.д.с.  способствует  дви-

жению положительных  зарядов  в  выбранном  направлении  (в  направлении 

1-2),  то  ε

12

>0. Если э д.с. препятствует движению положительных зарядов в 

данном  направлении,  то  ε

12

<0.  За  время  t  в  проводнике  выделяется  теплота 

(см. (2.16)) 

0

2

IRQ

It

IR

Rdt

I

dQ

.                                (2.19) 

Из формул (2.18) и (2.19) получим 

2

1

12

IR

,                                         (2.20) 

откуда 

R

I

2

1

12

.                                            (2.21) 

Выражение (2.20) или (2.21) представляет собой  з а к о н  Ома  д л я   н е -

о д н о р о д н о г о  у ч а с т к а  ц е п и  в интегральной форме, который является 

обобщенным з а к о н о м  Ома. 

Если  на  данном  участке  цепи  источник  тока  отсутствует  (ε

12

,=0), 

TO  ИЗ 

(2.21) приходим к закону Ома для однородного участка цепи (2.7): 

R

U

R

I

2

1

 

 (при отсутствии сторонних сил напряжение на концах участка равно разно-

сти потенциалов). Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точ-

ки 1 и 2 совпадают, υ

1

=υ

2

 тогда из (2.21) получаем закон Ома для замкнутой 

цепи 

R

I

, 

где ε - э.д.с, действующая в цепи, R - суммарное сопротивление всей цепи. В об-

щем  случае  R=r+R

1

,  где  r  -  внутреннее  сопротивление  источника  э.д.с,  R

1

  -

сопротивление  внешней  цепи.  Поэтому  закон  Ома  для  замкнутой  цепи  будет 

иметь вид 

)

R

r

(

I

1

. 

Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I = 0), то из за-

кона Ома (2.21) получим, что ε

12

=υ

1

-υ

2

 ,т.е. э.д.с, действующая в разомкнутой це-

 

44 

пи, равна разности потенциалов на ее концах. Следовательно, для того, чтобы най-

ти э.д.с. источника тока, надо измерить разность потенциалов на его клеммах при 

разомкнутой цепи. 

 

2.6. Разветвленные цепи. Правила Кирxгофа 

 

Расчет  разветвленных  цепей  значительно  упрощается,  если  пользоваться 

правилами,  сформулированными  Кирхгофом.  Этих  правил  два.  Первое  из  них 

относится к узлам цепи. У з л о м называется точка, в которой сходятся более 

чем  два  проводника  (рис.  28).  Ток,  текущий  к  узлу,  считается  имеющим  один 

знак  (плюс  или  минус),  текущий  от  узла  -  имеющим  другой  знак  (минус  или 

плюс). 

Первое  правило  Кирхгофа  гласит,  что  алгебраическая  сумма  токов,  сходя-

щихся в узле, равна нулю: 

0

I

k

.                                                 (2.22) 

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т. е., в конечном счете, из 

закона  сохранения  заряда.  Для  постоянного  тока  j   всюду  равна  нулю.  Сле-

довательно,  поток  вектора  j  (т.е.  алгебраическая  сумма  токов,  текущих  через 

окружающую узел воображаемую замкнутую поверхность) должен быть равен 

нулю. 

 

                         Рис. 28                                                        Рис. 29 

 

Уравнение (2.22) можно написать для каждого из N узлов цепи. Однако не-

зависимыми являются только N - 1 уравнений, N-e будет следствием из них. 

Второе  правило  относится  к  любому  выделенному  в  разветвленной  цепи 

замкнутому контуру (см., например, контур 1-2-3-4-1 на рис. 29). 3ададимся на-

правлением  обхода  (например,  по  часовой  стрелке,  как  указано  на  рисунке)  и 

применим к каждому из неразветвленных участков контура закон Ома: 

,

R

I

1

2

1

1

1

 

,

R

I

2

3

2

2

2

 

,

R

I

3

4

3

3

3

 

 

45 

.

R

I

4

1

4

4

4

 

При сложении этих выражений потенциалы взаимно уничтожаются и получа-

ется уравнение 

k

k

k

R

I

,                                               (2.23) 

:которое выражает в т о р о е  п р а в и л о Кирхгофа. 

Уравнение (2.23) может быть составлено  для всех замкнутых  контуров, ко-

торые  можно  выделить  мысленно  в  данной  разветвленной  цепи.  Однако  неза-

висимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить 

наложением других контуров один на другой. Так, например, для цепи, изобра-

женной на рис. 30, можно составить три уравнения: 

1) для контура 1-2-3-6-1, 

2) для контypa 3-4-5-6-3, 

3) для контура 1-2-3-4-5-6-1. 

Последний контур получается наложением первых двух. Поэтому уравнения не 

будут независимыми. В качестве независимых можно взять любые два уравне-

ния из трех. 

При составлении уравнений второго правила Кирхгофа токам и ЭДС нужно 

приписывать знаки в соответствии с выбранным направлением обхода. Напри-

мер, ток I

1

 на рис. 30 нужно считать отрицательным, так как ток течет навстре-

чу выбранному направлению обхода. ЭДС ε

1

  также нужно приписать знак ми-

нус, так как она действует в направлении, противоположном направлению об-

хода, и т. д.  

 

Рис. 30 

Направления обхода в каждом из кон-

туров  можно  выбирать  совершенно 

произвольно  и  независимо  от  выбора 

направлений  в  других  контурах.  При 

этом может случиться, что один и тот 

же ток либо одна и та же ЭДС войдет в 

разные  уравнения  с  различными  зна-

ками (так получается с током I

2

 на рис. 

30  при  указанных  направлениях  обхо-

да  в  контурах).  Это,  однако,  не  имеет 

никакого  значения,  потому  что  изме-

нение  направления  обхода  вызывает 

лишь изменение всех знаков в уравне-

нии (2.23) на обратные. 

Составляя уравнения, следует помнить, что через любое сечение неразветв-

ленного участка цепи течет один и тот же ток. Например, на участке от точки 6 

до источника тока ε

2

 течет такой же ток I

2

, как на участке от источника до точки 

3. 

Число  независимых  уравнений,  составленных  в  соответствии  с  первым  и 

вторым правилами Кирхгофа, оказывается равным числу различных токов, те-

кущих в разветвленной цепи. Поэтому, если заданы ЭДС и сопротивления для 

 

46 

всех  неразветвленных  участков,  то  могут  быть  вычислены  все  ТОRИ.  Можно 

решить и задачу иного рода, например найти ЭДС, которые нужно  включить в 

каждый из участков цепи, чтобы получить при заданных сопротивлениях нуж-

ные токи. 

 

 

 

3 .   М А Г Н И Т Н О Е   П О Л Е  

 

3.1. Магнитное поле и его характеристики 

 

Опыт  показывает,  что,  подобно  тому  как  в  пространстве,  окружающем  элек-

трические  заряды,  возникает  электростатическое  поле,  так  в  пространстве,  окру-

жающем  токи  и  постоянные  магниты,  возникает  силовое  поле,  называемое  маг-

нитным.  Наличие  магнитного  поля  обнаруживается  по  силовому  действию  на 

внесенные  в  него  проводники  с  током  или  постоянные  магниты.  Название  "маг-

нитное поле" связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием магнит-

ного поля, создаваемого током. Это явление впервые обнаружено датским физи-

ком Х.Эрнстом. 

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся заря-

ды.  Важнейшая  особенность  магнитного  поля  состоит  в  том,  что  оно  действует 

только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показывает, что 

характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы 

проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и направления 

тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть 

его действие на определенный ток. 

Подобно тому как при исследовании электростатического поля использовались 

точечные  заряды,  при  исследовании  магнитного  поля  используется  замкнутый 

плоский контур с током (рамка с током), размеры которого малы по сравнению с 

расстоянием до токов, образующих магнитное поле. 

 

Рис. 31 

Ориентация  контура  в  пространстве  ха-

рактеризуется направлением нормали к кон-

туру.  В  качестве  положительного  на-

правления  нормали  принимается  направ-

ление поступательного движения винта, го-

ловка  которого  вращается  в  направлении 

тока, текущего в рамке (рис. 31). 

 

Опыты  показывают,  что  магнитное  поле  оказывает  на  рамку  с  током  ори-

ентирующее  действие,  поворачивая  ее  определенным  образом.  Этот  результат 

связывается с определенным направлением магнитного поля. За направление маг-

нитного  поля  в  данной  точке  принимается  направление,  вдоль  которого  рас-

 

47 

полагается положительная нормаль к рамке (рис. 32). За направление магнитного 

ноля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, 

которая действует на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную 

точку. Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то си-

лы, действующие на оба полюса, равны друг  другу. Следовательно, на магнитную 

стрелку действует пара сил, поворачивающая ее так, чтобы ось стрелки, со-

единяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля. 

 

 

Рис. 32 

Рамкой  с  током  можно  воспользо-

ваться  также  и  для  количественного 

описания  магнитного  поля.  Так  как 

рамка  с  током  испытывает  ориенти-

рующее  действие  поля,  то  на  нее  в 

магнитном  поле  действует  пара  сил. 

Вращающий  момент  сил  зависит  как 

от  свойств  поля  в  данной  точке,  так  и 

от свойств рамки: 

B

P

M

m







.  

                          (3.1) 

где 

B



 - в е к т о р  м а г н и т н о й  и н д у к ц и и ,  являющийся количественной ха-

рактеристикой магнитного поля, 

m

P



 -   в е к т о р  м а г н и т н о г о  м о м е н т  а 

рамки с током. 

Для плоского контура с током 

n

IS

P

I

m





I , 

где S - площадь поверхности контура (рамки), n - единичный вектор нормали 

к  поверхности  рамки.  Направление  Р

m

  совпадает  с  направлением  положи-

тельной нормали. 

Если  в  данную  точку  магнитного  поля  поместить  рамки  с  различными 

магнитными  моментами,  то  на  них  действуют  различные  вращающие  мо-

менты, однако отношение 

m

max

P

M

 (М

max

 - максимальный вращающий момент) 

для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой 

магнитного поля, называемой магнитной индукцией: 

m

max

P

M

B

. 

М а г н и т н а я   и н д у к ц и я   в  данной  точке  однородного  магнитного 

поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на 

рамку с магнитным моментом равным единице, когда нормаль к рамке пер-

пендикулярна  направлению  поля.  Следует  отметить,  что  вектор 

B



  может 

быть выведен также из закона Ампера и из выражения силы Лоренца. 

Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электри-

ческим,  изображают  с  помощью  л и н и й   м а г н и т н о й   и н д у к ц и и   -  ли-

 

48 

ний, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением век-

тора 

B



. 

Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчи-

ваемого  по  направлению  тока,  вращается  в  направлении  линий  магнитной 

индукции 

Линии  магнитной  индукции  можно  "проявить"  с  помощью  железных 

опилок,  намагничивающихся  в  исследуемом  поле  и  ведущих  себя  подобно 

маленьким магнитным стрелкам. 

На рис. 33, а показаны линии магнитной индукции поля кругового то-

ка, на   рис. 33, б - линии магнитной индукции поля соленоида. 

 

Рис. 33 

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с 

током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического 

поля,  которые  являются  разомкнутыми  (начинаются  на  положительных  за-

рядах и заканчиваются на отрицательных). 

До  сих  пор  мы  рассматривали  макроскопические  токи,  текущие  в  про-

водниках. Однако, согласно представлению французского физика А. Ампера, 

в любом геле существуют микроскопические токи, обусловленные движени-

ем электронов  в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные 

токи  создают  свое магнитное поле  и могут  поворачиваться  в  магнитных  по-

лях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить проводник 

с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех 

атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнитель-

ное магнитное поле. 

Вектор магнитной индукции 

B



 характеризует результирующее поле, соз-

даваемое всеми макро- и микротоками, т.е. при одном и том же токе и прочих 

равных  условиях  вектор 

B



  в  различных  средах  будет  иметь  разные  значе-

ния. 

Магнитное  поле  макротоков  описывается  в е к т о р о м   н а п р я ж е н -

н о с т и  

H



.  Для  однородной  изотропной  среды  вектор  магнитной  индукции 

связан с вектором напряженности следующим соотношением 

H

B

0





, 

                      (3.2) 

 

49 

где 

0

  -  магнитная  постоянная,  μ  -  безразмерная  величина  -  м а г н и т н а я  

п р о н и ц а е м о с т ь  среды. 

Сравнивая  векторные  характеристики  электростатического  (

E



  и 

D



)  и 

магнитного  (

B



  и 

H



)  полей,  укажем,  что  аналогом  вектора  напряженности 

электростатического  поля 

E



  является  вектор  магнитной  индукции 

B



,  т.к. 

векторы 

E



  и 

B



  определяют  силовые  действия  этих  полей  и  зависят  от 

свойств  среды.  Аналогом  вектора  электрического  смещения 

D



D



  является 

вектор напряженности 

H



 магнитного поля. 

 

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: