Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету

 

50 

с у п е р п о з и ц и и :  магнитная индукция результирующего поля, создаваемо-

го несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме 

магнитных  индукций  складываемых  полей,  создаваемых  каждым  током  или 

движущимися зарядами в отдельности: 

n

1

i

i

B

B





. 

Расчет характеристик  магнитного поля  (

B



  и 

H



)  но приведенным  формулам  в 

общем  случае  довольно  сложен.  Однако  если  распределение  тока имеет опре-

деленную  симметрию,  то  применение  закона  Био-Савара-Лапласа  совместно  с 

принципом  суперпозиции  позволяет  довольно  просто  рассчитать  конкретные 

поля. Рассмотрим два примера:  

1.  М а г н и т н о е   п о л е   прямого  тока  -  тока,  текущего  по  гонкому  пря-

мому проводу бесконечной длины (рис. 35). 

 

Рис. 35 

В  произвольной  точке  А,  удаленной  от 

оси  проводника  на  расстояние  R,  векторы 

B

d



  от  всех  элементов  тока  имеют  одина-

ковое направление, перпендикулярное плос-

кости  чертежа  Поэтому  сложение  векторов 

B

d



  можно  заменить  сложением    их  моду-

лей. 

 

В качестве постоянной интегрирования выберем угол α, выразив через него 

все остальные величины. Из рис.35 следует, что радиус дуги CD вследствие ма-

лости 



d

 равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым. Под-

ставив  эти  выражения  в  (3.4),  получим,  что  магнитная  индукция,  создаваемая 

одним элементом проводника, равна 

d

sin

r

4

I

B

d

0



. 

                                  (3.6) 

Так как угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до 

π, то, согласно формулам (3.5) и (3.6), 

0

0

0

R

I

2

4

d

sin

R

1

4

dB

B

. 

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока 

R

I

2

4

B

0

.                                                    (3.7) 

2. М а г н и т н о е  п о л е  в ц е н т р е  к р у г о в о г о  п р о в о д н и к а   с т о к о м . 

Как видно из рис. 36, все элементы кругового проводника с током создают 

в центре магнитное поле одинакового направления вдоль нормали от витка. По-

этому сложение векторов  B

d



  можно  заменить  сложением  их  модулей.  Так как 

все  элементы  проводника 

 

перпендикулярны  радиусу-вектору  (sinα=1)  и  рас-

 

51 

стояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и рав-

но R, то, согласно (3.4),  



d

R

I

2

4

dB

2

0

. 

 

Рис. 36 

Тогда 

0

0

2

0

0

R

2

1

R

R

2

4

d

R

1

4

dB

B



. 

 

 

3.3. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов 

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие.  Следо-

вательно,  вращающий  момент,  испытываемый  рамкой,  есть  результат  действия 

сил  на  отдельные  ее  элементы.  Обобщая  результаты  исследования  действия 

магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила 

F

d



,с  которой  магнитное  поле  действует  на  элемент  проводника 



d

  с  током, 

находящийся   в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока  I  в про-

воднике и векторному произведению элемента длиной 



d

  проводника  на  маг-

нитную индукцию 

B



: 

B

,

d

I

F

d









.                                                   (3.8) 

Направление  вектора  F

d



  может  быть  найдено,  согласно  (3.8),  по  общим 

правилам  векторного  произведения,  откуда  следует  правило  левой  руки:  если 

ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор 

B



, а четыре вы-

тянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый 

большой палец покажет направление силы, действующей на ток. Модуль силы 

Ампера (см. 3.8) вычисляется по формуле 

dF=IBd



sin

,                                            (3.9) 

где α - угол между векторами  



d  и 

B



. 

 

 

 

Рис. 37 

Закон  Ампера  применяется  для  определения 

силы  взаимодействия  двух  токов.  Рассмотрим 

два  бесконечных  прямолинейных  параллель-

ных тока I

1

 и I

2

 (направления токов указаны на 

рис. 37), расстояние между которыми равно R. 

Каждый из проводников создает магнитное по-

ле,  которое  действует  по  закону  Ампера  на 

другой  проводник  с  током.  Рассмотрим,  с  ка-

кой силой действует магнитное поле тока I

1

 на 

элемент 



d

 второго проводника с током I

2

. 

Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону 

Ампера  на  другой  проводник  с  током.  Рассмотрим,  с  какой  силой  действует 

 

52 

магнитное поле тока I

1

 на элемент 



d

 второго проводника с током I

2

. 

Ток I

1

 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции ко-

торого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора 

В задается правилом правого винта, его модуль по формуле (3.7) равен 

R

I

2

4

dB

1

0

1

. 

Направление  силы 

1

F

d



,  с  которой  поле 

1

B



  действует  на  участок 



d

  второго 

тока, определяется по правилу левой руки и указано на рис 37. Модуль силы, со-

гласно (3.9), с учетом того, что угол а между элементами тока І

2

 и вектором 

1

B



 

прямой равен 



d

B

I

dF

1

2

1

, 

или, подставляя значения для В

1

 получим 



d

R

I

I

2

4

dF

2

1

0

1

.                                            (3.10) 

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF

2

, с которой магнитное поле 

тока І

2

 действует на элемент d



 первого проводника с током І

1

 направлена в про-

тивоположную сторону и по модулю равна 





d

R

I

I

2

4

d

B

I

dF

2

1

0

2

1

2

.                                   (3.11) 

Сравнение выражений (3.10) и (3.11) показывает, что 

dF

1

 = dF

2

, 

т.е.  два  параллельных  тока  одинакового  направления  притягиваются  друг  к 

другу с силой 



d

R

I

I

2

4

dF

2

1

0

.                                          (3.12) 

Еслии токи имеют противоположные направления, то, используя правило ле-

вой  руки,  можно  показать,  что  между  ними  действует  сила  отталкивания,  оп-

ределяемая формулой (3.12). 

 

3.4. Магнитная постоянная.  

Единицы магнитной индукции напряженности магнитного поля 

 

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (μ=1), то си-

ла взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (3.12), равна 

R

I

I

2

4

d

dF

2

1

0



.                                     (3.13) 

 

53 

Для  нахождения  числового  значения  μ

0

  воспользуемся  определением  ам-

пера, согласно которому при 

A

1

I

I

2

1

 и R = 1м, 



d

dF

=2∙10

-7

Н/м. 

Подставив это значение в формулу (3.13), получим μ

0

 = 4π∙10

-7

 Н/А

2

 = 4π∙10

-7

 

Гн/м, где генри (Гн) - единица индуктивности. 

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Пред-

положим, что элемент проводника d



 с током I перпендикулярен направлению 

магнитного поля. Тогда закон Ампера запишется в виде dF = I Bd



, откуда 



Id

dF

B

. 

Единица магнитной индукции - тесла (Тл): 1Тл - магнитная индукция такого 

однородного магнитного поля, которое действует с силой в 1Н на каждый метр 

длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направ-

лению поля, если по этому проводнику проходит ток в 1 А: 

АМ

1

Н

1

Tл

1

. 

Так как 

0

=4∙10

-7

 Н/А

2

, а в случае вакуума (μ=1), согласно (3.2), В=μ

0

 Н, то для 

данного случая 

0

B

Н

. 

Единица  напряженности  магнитного  поля  -  ампер  на  метр  (А/м):  1А/м  -

напряженность  такого  поля,  магнитная  индукция  которого  в  вакууме  равна  

4π∙10

-7

 Тл 

 

3.5. Магнитное поле движущегося заряда 

 

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное 

поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение элек-

трических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме 

или в среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения 

опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда 

Q,  свободно  движущегося  со  скоростью  v.  Под  свободным  движением  заряда 

понимается  его  движение  с  постоянной  скоростью.  Этот  закон  выражается 

формулой 

Рис. 38 

3

0

r

r

v

Q

4

B







,            (3.14) 

где  r



 -радиус-вектор, проведенный от заря-

да Q к точке наблюдения М (рис.38). 

 

 

54 

Согласно выражению (3.14), вектор 

B



 направлен перпендикулярно плоско-

сти, в которой расположены векторы 

v



 и  r



, а именно: его направление совпа-

дает с направлением поступательного движения 

 

правого винта при его враще-

нии от 

v



 к  r



. 

Модуль магнитной индукции (3.14) вычисляется по формуле 

sin

r

V

Q

4

B

0

,                                       (3.15) 

      где α - угол между векторами  

v



 и  r



. 

Сравнивая выражения (3.3) и (3.14), видим, что движущийся заряд по своим 

магнитным свойствам эквивалентен элементу тока: 

v

Q

Id







 

Приведенные  закономерности  (3.14)  и  (3.15)  справедливы  лишь  при  малых 

скоростях (v<

жущегося  заряда  можно  считать  электростатическим,  т.е.  создаваемым  не-

подвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени на-

ходится движущийся заряд. 

Формула  (3.14)  определяет  магнитную  индукцию  положительного  заряда, 

движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q надо за-

менить на -Q. Скорость v - относительная скорость, т.е. скорость относительно на-

блюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависит как от времени, 

так и от положения точки М наблюдателя. Поэтому следует подчеркнуть относи-

тельный характер магнитного поля движущегося заряда. Магнитное поле свободно 

движущихся зарядов было измерено академиком А.Ф.Иоффе. 

 

3.6. Действие магнитного поля на движущийся заряд 

 

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с 

током,  но  и  на  отдельные  заряды,  движущиеся  в  магнитном  поле.  Сила,  дей-

ствующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью 

v, называется силой Лоренца и выражается формулой 

B

v

Q

F







,                                          (3.16) 

где 

B



 - индукция магнитного поля, в котором заряд движется. 

 

Рис. 39 

Направление силы Лоренца определяется с помощью пра-

вила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, 

чтобы в нее входил вектор 

B



, а четыре вытянутых пальца 

направить вдоль вектора 

v



  (для  Q>0  направления  І  и 

v



 

совпадают,  для  Q<0  -  противоположны),  то  отогнутый 

большой палец покажет направление силы, действующей 

на положительный заряд. 

На рис. 39 показана взаимная ориентация векторов 

B



 и 

v



 (поле направлено 

к нам, на рисунке показано точками) и 

F



 для положительного заряда. 

 

55 

На отрицательный заряд сила действует в противоположном направлении. 

Модуль силы Лоренца (3.16) равен F = Q v В sin α, где α - угол между 

v



 и  

B



. 

Отметим  еще  раз,  что  магнитное  поле  не  действует  на  покоящийся  элек-

трический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электриче-

ского. Магнитное поле действует только на движущиеся в нем заряды. 

Так как по действию силы Лоренца можно определить модуль и направле-

ние вектора В, то выражение для силы Лоренца может быть использовано для 

определения вектора магнитной индукции В. 

Сила  Лоренца  всегда  перпендикулярна  скорости  движения  заряженной 

частицы, поэтому она меняет только направление этой скорости, не изменяя ее 

модуля.  Следовательно,  сила  Лоренца  работы  не  совершает.  Иными  словами, 

постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заря-

женной  частицей,  и  кинетическая  энергия  этой  частицы  при  движении  в  маг-

нитном поле не изменяется. 

Если  на  движущийся  электрический  заряд,помимо  магнитного  поля  с  ин-

дукцией  В,  действует  и  электрическое  поле  напряженностью  Н,  то  результи-

рующая сила F, приложенная к заряду, равна векторной сумме сил - силы, дей-

ствующей со стороны электрического поля, и силы Лоренца: 

B

v

Q

E

Q

F









. 

Это  выражение  называется  ф о р м у л о й   Л о р е н ц а .  Скорость  v  в  этой 

формуле есть скорость заряда относительно магнитного поля. 

 

3.7. Движение заряженных частиц в магнитном поле 

 

Выражение  для  силы  Лоренца  позволяет  найти  ряд  закономерностей  дви-

жения  заряженных частиц  в магнитном  поле.  Направление силы  Лоренца и  на-

правление  вызываемого  ею  отклонения  зависят  от  знака  заряда  Q  частицы.  На 

этом основано определение знака частиц, движущихся в магнитных полях. 

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле од-

нородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная  час-

тица движется в магнитном поле со скоростью V вдоль линии магнитной индук-

ции, то угол а между векторами 

v



 и 

B



 равен 0 или π. Тогда по формуле (3.16) 

сила  Лоренца  равна  нулю,  т.е.  магнитное  поле  на  частицу  не  действует,  и  она 

движется равномерно и прямолинейно. 

Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью 

v



,  пер-

пендикулярной вектору 

B



, то сила Лоренца 

B

v

Q

F







 постоянна по модулю и 

нормальна  к  траектории  частицы.  Согласно  второму  закону  Ньютона,  эта  сила 

создает  центростремительное  ускорение.  Отсюда  следует,  что  частица  будет 

двигаться по окружности, радиус r которой определяется из условия 

r

mv

QvB

2

,  

 

56 

откуда 

B

v

Q

m

r

. 

Период  в р а щ е н и я   ч а с т и ц ы ,   т.е.  время  Т,  затрачиваемое  ею  на 

один полный оборот,

v

r

2

T

. 

Подставив сюда выражение (3.16), получим 

B

2

Q

m

T

. 

Период  вращения  частицы  в  однородном  магнитном  поле  определяется 

только  величиной,  обратной  удельному  заряду  (

m

Q

)  частицы  и  магнитной  ин-

дукции   поля, но не зависит от ее скорости. На этом основано действие цикли-

ческих ускорителей заряженных частиц. 

Если скорость v заряженной частицы направлена под углом а к вектору В 

(рис. 40), то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 

1. равномерного прямолинейного движения вдоль поля со скоростью 

V

| |

 = v cos α; 

2.  равномерного  движения  со  скоростью  v   по  окружности  в  плоскости, 

перпендикулярной  полю.  Радиус  окружности  определяется  формулой 

(3.16). 

В  результате  сложения  обоих  движений  возникает  движение  по  спирали, 

ось  которой  параллельна  магнитному  полю  (рис.31).  Шаг  винтовой  линии         

h = v

||

 T = v T cos α. Подставив в последнее выражение (3.17), получим 

cos

v

B

2

Q

m

h

.                                       (3.17) 

Q

F

У

Х

Z

В

V2

V1

V

Н

 

Рис. 40 

 

 

57 

Направление,  в  котором  закручивается  спираль,  зависит  от  знака  заряда 

частицы. 

Если  скорость  v  заряженной  частицы  составляет  угол  а  с  направлением 

вектора В неоднородного поля, индукция которого возрастает в направлении 

движения частицы, то г и h уменьшаются с ростом В. На этом основана фо-

кусировка заряженных частиц в магнитном поле. 

 

3.8. Ускорители заряженных частиц 

 

У с к о р и т е л я м и   з а р я ж е н н ы х   ч а с т и ц   называются  устройства,  в 

которых  под  действием  электрических  и  магнитных  полей  создаются  и  на-

правляются  пучки  высокоэнергетических  заряженных  частиц  (электронов, 

протонов, мезонов и т.д.). 

Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц, энергией, 

сообщаемой частицам, разбросом частиц по энергиям и интенсивностью пуч-

ка Ускорители делятся на непрерывные (из них частицы вылетают порциями 

-  импульсами).  Последние  характеризуются  длительностью  импульса.  Но 

форме  траектории  и  механизму  ускорения  частиц  ускорители  делятся  на 

л и н е й н ы е , ц и к л и ч е с к и е  и и н д у к ц и о н н ы е .  В линейных ускори-

телях траектории движения частиц близки к прямым линиям, в циклических 

и индукционных траекториями частиц являются окружности или спирали. 

Рассмотрим некоторые типы ускорителей заряженных частиц. 

1.

 

Л и н е й н ы й     у с к о р и т е л ь .       Ускорение  частиц  осуществляется 

электростатическим полем. Заряженная частица проходит поле однократно 

заряд  Q,  проходя  разность  потенциалов 

2

1

,  приобретает  энергию 

)

(

Q

w

2

1

.  Таким  способом  частицы  ускоряются  до

10МэВ.  Их 

дальнейшее ускорение с помощью источников постоянного напряжения не-

возможно из-за утечки зарядов, пробоев и т.д. 

2 .   Ц и к л о т р о н     -  циклический  резонансный  ускоритель  тяжелых 

частиц (протонов, ионов). Его принципиальная схема приведена на рис. 41. 

 

Рис. 41 

Между полюсами электромагнита помеща-

ется вакуумная камера, в которой находят-

ся  два  электрода  (1  и  2)  в  виде  полых  ме-

таллических  полуцилиндров,  или  дуантов. 

К  дуантам  приложено  переменное  элек-

трическое  поле.  Магнитное  поле,  созда-

ваемое  электромагнитом,  однородно  и 

перпендикулярно плоскости дуантов. 

 

Если заряженную частицу ввести в  центр зазора между дуантами, то она, 

ускоряемая электрическим и отклоняемая магнитным полем, войдя в дуант 1, 

опишет полуокружность, радиус которой пропорционален скорости частицы. 

 

58 

К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения изменяется, поэто-

му частица вновь ускоряется и, переходя в дуант 2, описывает там уже полу-

окружность большего радиуса и т. д. 

Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо выпол-

нить  у с л о в и е   с и н х р о н и з м а :   периоды  вращения  частицы  в  магнитном 

иоле  и  колебаний  электрического  поля  должны  быть  равны.  При  выполне-

нии  этого  условия  частица  будет  двигаться  по  раскручивающейся  спирали, 

получая при каждом прохождении через зазор дополнительную энергию. На 

последнем витке, когда энергия частиц и радиус орбиты доведены до макси-

мально  допустимых  значений,  пучок  частиц  посредством  отклоняющего 

электрического поля выводится из циклотрона. 

Циклотроны  позволяют  ускорять  протоны  до  энергии  примерно  20МэВ. 

Дальнейшее их ускорение в циклотроне ограничивается релятивистским воз-

растанием массы со скоростью, что приводит к увеличению периода враще-

ния, и синхронизм нарушается. Поэтому циклотрон совершенно неприменим 

для ускорения электронов (при Е=0,5МэВ, m=2m

0

; при Е=10МэВ, m=28m

0

). 

Ускорение релятивистских частиц в циклических ускорителях можно, од-

нако, осуществить, если применить предложенный в 1944г. советским физи-

ком  В.И.Векслером  и  в  1945г.  американским  физиком  Э.Мак-Милланом 

п р и н ц и п  а в т о ф а з и р о в к и .  Его идея заключается в том, что для компен-

сации увеличения периода вращения частиц, ведущего к нарушению синхро-

низма,  изменяют  либо  частоту  ускоряющего  электрического  поля,  либо  ин-

дукцию магнитного поля, либо то и другое. Принцип автофазировки исполь-

зуется в фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне. 

 

жүктеу/скачать 1,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: