Лекция №1 электростатика



жүктеу 1.11 Mb.

бет1/10
Дата15.03.2017
өлшемі1.11 Mb.
түріЛекция
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

 



ЛЕКЦИЯ №1 



1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА   

1.1. Закон сохранения электрического заряда 

 

Еще в глубокой древности было известно, что янтарь, потертый о шерсть, 



притягивает легкие предметы. Английский ученый В.Гильберт (конец XVI в.) 

назвал  тела,  способные  после  натирания  притягивать  легкие  предметы,  на-

электризованными.  Сейчас  мы  говорим,  что  тела  при  этом  приобретают 

электрические  заряды.  Несмотря  на  огромное  разнообразие  веществ  в  при-

роде,  существуют  только  два  вида  электрических  зарядов:  заряды,  подоб-

ные  возникающим  на  стекле,  потертом  о  кожу  (их  назвали  положительны-

ми), и заряды, подобные возникающим на эбоните, потертом о мех (их назва-

ли отрицательными); одноименные заряды друг or друга отталкиваются, раз-

ноименные – притягиваются. 

Опытным  путем  (1910-1914  гг.)  американский  физик  Р.Милликен  пока-

зал,  что  электрический  заряд  дискретен,   т.е.  заряд  любого  тела  составляет 

целое кратное от  элементарного электрического заряда е (е=1,6-10

|9

Кл) элек-



трон (m =9,11∙10

- 3 1


 кг) и протон (m =1,67∙10

-27


 кг) являются соответственно 

носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов. 

Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электри-

ческий заряд. Электризация тел может осуществляться различными способа-

ми,  соприкосновением  (трением),  электростатической  индукцией  и  др.  Вся-

кий процесс заряжения сводится к разделению  зарядов, при котором на од-

ном из тел (или части юла) появляется избыток положительного заряда, а на 

другом (или другой масти тела) - избыток отрицательного заряда. Общее ко-

личество  зарядов  обоих  знаков,  содержащихся  в  телах,  не  изменяется:  они 

только перераспределяются между телами. 

Из  обобщения  опытных  данных  был  установлен  фундаментальный  за-

кон  природы,  экспериментально  подтвержденный  в  1843  г.  английским  фи-

зиком  М.Фарадеем,  -  закон  сохранения  заряда:   алгебраическая  сумма  элек-

трических зарядов любой замкнутой системы остается неизменной, какие бы 

процессы не происходили внутри этой системы. 

В зависимости от концентрации свободных зарядов тела делятся на про-

водники, диэлектрики и полупроводники. Проводники - тела, в которых элек-

трический  заряд  может  перемещаться  по  всему  его  объему.  Проводники 

делятся на две группы:  первого рода (металлы)  - перенесение в них зарядов 

(свободных  электронов)  не  сопровождается  химическими  превращениями; 



второго  рода  (например,  расплавленные  соли,  растворы  кислот)  -  пе-

ренесение  в  них  зарядов  (положительных  и  отрицательных  ионов)  ведет  к 

химическим изменениям. Диэлектрики (например, стекло, пластмассы) -тела, 

в которых практически отсутствуют свободные заряды. 



Полупроводники  (например,  германий,  кремний)  занимают  про-

межуточное  положение  между  проводниками  и  диэлектриками.  Указанное 



 

деление тел является весьма условным, однако большое различие в них кон-



центраций  свободных  зарядов  обусловливает  огромные  качественные  раз-

личия  в  их  поведении  и  оправдывает  поэтому  деление  тел  на  проводники, 

диэлектрики и полупроводники. 

Единица электрического заряда (производная единица, так как определя-

ется через единицу силы тока) - к у л о н  (Кл) - электрический заряд, проходя-

щий  через  поперечное  сечение  проводника  при  силе  тока  1А  за  время  I  с. 

(см. Приложение). 

1.2. Закон Кулона 

 

Закон взаимодействия неподвижных точечных электрических зарядов ус-

тановлен в 1785 г. Ш.Кулоном с помощью крутильных весов    Точечным на-

зывается  заряд,  сосредоточенный  на  теле,  линейные  размеры  которого  пре-

небрежительно малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с ко-

торыми он взаимодействует. Понятие точечного заряда, как и материальной точки, 

является физической абстракцией. 

З а к о н  К у л о н а :  сила взаимодействия F между двумя неподвижными точеч-

ными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам Q

1

 и Q


2

 и об-


ратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними: 

2

2



1

r

Q



Q

k

F



где  k  -  коэффициент  пропорциональности,  зависящий  от  выбора  системы 

единиц. 

Сила F направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие заряды, 

т.е. является центральной, и соответствует притяжению в случае разноимен-

ных  зарядов  и  отталкиванию  в  случае  одноименных.  Эта  сила  называется 



к у л о н о в  с к о и

В векторной форме закон Кулона имеет вид 

r

r

r



Q

Q

k



F

12

2



2

1

12



,                                               (1.1) 



где 

12

F



  -  сила,  действующая  на  заряд  Q

1

  со  стороны  заряда  Q



2

r



  -  радиус-

вектор, соединяющий заряд Q

1

 с зарядом Q



2

12



r

r



 (рис. 1). На заряд Q

2

 со сторо-



ны заряда Q

1

  действует  сила 

12

21

F



F



, т.е. взаимодействие электрических  точеч-

ных зарядов удовлетворяет третьему закону Ньютона.  

 

Рис. 1 


 

В СИ коэффициент пропорциональности равен 



0

4

1



k

.   


Тогда закон Кулона запишется в окончательном виде 

2

0



2

1

r



4

Q

Q



k

F

.                                                 (1.2) 



Величина  ε

0

  называется  электрической  постоянной;  она  относится  к  числу 



фундаментальных физических постоянных и равна 

ε

0



=8,85∙10

-12  


Кл

2

/(Нм), 



или ε

0

= 8,85∙10



-12

 Ф/м, где ф а р а д  (Ф) - единица электрической емкости. То-

гда 

9

0



10

9

4



1

 м/Ф. 


 

ЛЕКЦИЯ №2 

1.3. Электростатическое ноле.  

Напряженность электростатического поля 

Если  в  пространстве,  окружающее  электрический  заряд,  внести  другой 

зaряд, то на него будет действовать кулоновская сила; значит, там существует 

силовое  поле.   Согласно  представлениям  современной  физики,  поле  peaльно 

существует и наряду с веществом

 

является одной из форм существования ма-



терии,  посредством  которой  осуществляются  определенные  взаимодействия 

между  макроскопическими  телами  или  частицами,  входящими  в  состав  ве-

щества. В данном случае говорят об электрическом поле - поле, посредст-

вом  которою  взаимодействуют  электрические  заряды.  Мы  будем  рассмат-

ривать  электрические  поля,  которые  создаются  неподвижными  электриче-

скими зарядами и называются электростатическими.  

Для  обнаружения  и  опытного  исследования  электростатического  поля 

используется  пробный  точечный  положительный  заряд,  т.e.  такой,  который 

не искажает исследуемое моле (не вызывает перераспределения зарядов, соз-

дающих поле). Если в поле, создаваемое зарядом Q, поместить пробный заряд 

Q

o

,  то  на  него  действует  сила  F,  различная  в разных  точках  поля,  которая,  со-



гласно  закону  Кулона,  пропорциональна  пробному  заряду  Q

o

.  Поэтому  отно-



шение 

0

Q



F

  не  зависит  от  Q

0

  и  характеризует  электрическое  поле  в  той  точке, 



где пробный заряд находится. Эта величина называется напряженностью и яв-

ляется силовой характеристикой электростатического поля. 

 

Напряженность  электростатического  поля  в  данной  точке  есть  физическая 



величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный за-

ряд, помещенный в эту точку поля: 



 

0



Q

F

E



.                                                    (1.3) 

Как следует из формул (1.1) и (1.3), напряженность поля точечного заряда 

в вакууме 

r

r



r

Q

4



1

E

2



0



или в скалярной форме 

2

0

r



Q

4

1



E

                                           (1.4) 



Направление  вектора 

E



  совпадает  с  направлением  силы,  действующей  на 

положительный заряд. Если поле создается положительным зарядом, то вектор 

E



  направлен  вдоль радиус-вектора  от  заряда  во  внешнее пространство (оттал-



кивание пробной) положительного заряда); если поле создается отрицательным 

зарядом, то вектор 

E



 направлен к заряду (рис.2). 



 

Рис. 2 


Из  формулы  (1.3)  следует,  что  единица  напряженности  электростатиче-

ского  поля  -  ньютон  на  кулон  (Н/Кл):  1  Н/Кл  -  напряженность  такого  поля, 

которое на точечный заряд 1 Кл действует с силой в 1 Н; 1 Н/Кл = 1 В/м, где 

В (вольт) -единица потенциала электростатического поля. 

Графически  электростатическое  поле  изображают  с  помощью  линий  на-

пряженности  -  линий,  касательные  к  которым  в  каждой  точке  совпадают  с 

направлением вектора 

E



 (рис.3). 



1

Е1

2



Е2

 

Рис. 3 



Линиям  напряженности  приписывают  направление,  совпадающее  с  на-

правлением  вектора  напряженности.  Так  как  в  каждой  данной  точке  про-



 

странства вектор напряженности имеет лишь одно направление, то линии на-



пряженности  никогда  не  пересекаются.  Для  однородного  поля  (когда  вектор 

напряженности в любой точке постоянен по величине и направлению) линии 

напряженности  параллельны  вектору  напряженности.  Если  поле  создается 

точечным  зарядом,  то  линии  напряженности  -  радиальные  прямые,  выходя-

щие из заряда, если он положителен (рис.4а), и входящие в него, если заряд 

отрицателен  (рис.  4б).  Вследствие  большой  наглядности  графический  способ 

представления электрического поля широко применяется в электротехнике. 

 

                                  а                                                           б 



Рис. 4 

Чтобы  с  помощью  линий  напряженности  можно  было  характеризовать  не 

только  направление,  но  и  значение  напряженности  электростатического  поля, 

условились проводить их с определенной густотой (см. рис.3): число линий на-

пряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикуляр-

ную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора 

E



. Тогда чис-



ло  линий  напряженности,  пронизывающих  элементарную  площадку  dS,  нор-

маль  n  которой  образует  угол  α  с  вектором 

E



,  равно  ЕdScosα=Е



n

dS,  где  E

n

  -


проекция вектора 

E



 на нормаль 

n



 к площадке dS (рис. 5). 

 

Рис. 5 



Величина 

S

d



E

dS

E



n



 называ-


ется  потоком  вектора  напряжен-

ности  через  площадку  dS.  Здесь 

n

dS



S

d



  -  вектор,  модуль  которого 

равен  dS,  а  направление  совпадает  с 

направлением нормали 

n



 к площадке. 



 

Единица потока вектора напряженности электростатического поля - 1 Вм.      

Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора 

E



 через эту по-

верхность 

S

d

E



dS

E

Ф



S

S

n



E



,                                        (1.5) 

где  интеграл  берется  по  замкнутой  поверхности  S.  Поток  вектора 

E



  является 



алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля Ё, но и от 

выбора  направления  n.  Для  замкнутых  поверхностей  за  положительное  на-



 

правление  нормали  принимается  внешняя  нормаль,  т.е.  нормаль,  направленная 



наружу области, охватываемой поверхностью. 

 

1.4.  Теорема Гаусса для электростатического поля 



 

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью 

принципа  суперпозиции  электростатических  полей  можно  значительно  упро-

стить,  используя  выведенную  немецким  ученым  К.  Гауссом  теорему,  опре-

деляющую  поток  вектора  напряженности  электрического  поля  через  произ-

вольную замкнутую поверхность 

В  соответствии  с  формулой  (1.5)  поток  вектора  напряженности  сквозь  сфе-

рическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся 

в ее центре (рис 6), 

0

2



2

0

S



n

E

Q



r

4

r



4

Q

dS



E

Ф



Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы Действи-

тельно, если окружить сферу (рис. 6) произвольной замкнутой поверхностью, то 

каждая  линия  напряженности,  пронизывающая  сферу,  пройдет  и  сквозь  эту  по-

верхность 

Q

r

 



 

Рис. 6                                                Рис. 7 

 

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд  (рис. 



7),  то  при  пересечении  любой  выбранной  линии  напряженности  с  поверхностью 

она то входит в нее, то выходит из нее.  Нечетное число пересечений при вы-

числении  потока  в  конечном  счете  сводится  к  одному  пересечению,  т.к.  поток 

считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и 

отрицательным для линий, входящих в поверхность. 

Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен 

нулю,  т.к.  число  линий  напряженности,  входящих  в  поверхность,  равно  числу 

линий напряженности, выходящих из нее. 



 

 



Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает 

в себя точечный заряд Q, поток вектора 

E



 будет равен 



0

Q , т.е. 

0

S

n



S

E

Q



dS

E

S



d

E

Ф



.                                       (1.6) 



Знак потока совпадает со знаком заряда Q. 

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. 

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность 

E



 поля, создаваемого 

всеми зарядами, равна сумме напряженностей 

E



i



, создаваемых каждым зарядом в 

отдельности: 

i

i

E



E



. Поэтому 

i S


i

S

i



i

S

E



S

d

E



S

d

)



E

(

S



d

E

Ф







Согласно (1.6), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен 

0

Q



Следовательно, 

n

1



i

i

0



S

n

S



Q

1

dS



E

S

d



E



.                                  (1.7) 

Формула  (1.7)  выражает  теорему Гаусса для  электростатического  поля в 

вакууме:  "поток вектора напряженности электростатического поля в  вакууме 

сквозь  произвольную  замкнутую  поверхность  равен  алгебраической  сумме 

заключенных внутри мой поверхности зарядов, деленной на  ε

0

".  Эта  теоре-



ма  выведена  математически  для  векторного  поля  любой  природы  русским 

математиком М.В. Остроградским, а затем независимо от него применитель-

но к электростатическому полю - К.Гауссом. 

 

1.5. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых  



электростатических полей в вакууме 

 

S

E



 

Рис. 8 

1.  Поле  равномерно  заряженной 

бесконечной  плоскости.  Бесконечная 

плоскость  (рис.8)  заряжена  с  посто-

янной поверхностной плотностью +σ 

(

dS



dQ

  –  заряд,  приходящийся  на 

единицу поверхности). 

 

 


 

10 


Линии  напряженности  перпендикулярны  рассматриваемой  плоскости  и 

направлены  от  нее  в  обе  стороны.  В  качестве  замкнутой  поверхности  мыс-

ленно  построим  цилиндр,  основания  которого  параллельны  заряженной 

плоскости, а ось перпендикулярна ей. 

Так  как  образующие  цилиндра  параллельны  линиям  напряженности 

(cosα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность ц и-

линдра  равен  нулю,  а  полный  поток  сквозь  цилиндр  равен сумме  потоков 

сквозь  его основания (площади оснований равны, и для основания  E

n

  сов-


падает с Е), т.е. 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндриче-

ской поверхности, равен σS. Согласно теореме Гаусса, 2ES=

0

S



Откуда 

0

2



E

.                                                 (1.8) 

Из  формулы  (1.8)  вытекает,  что  Е  не  зависит  от  длины  цилиндра,  т.е.  напря-

женность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, 

поле равномерно заряженной плоскости однородно. 

 

 



Рис. 9 

2.   Поле двух бесконечных параллель-



ных разноименно заряженных плоско-

стей (рис.9). 

В 

области 



между 

плоскостями 

Е=

E

E



  ( E   и  E   определяются  по 

формуле  (1.8)),  поэтому  результирующая 

напряженность 

0

E



.                       (1.9) 

 

Таким  образом,  результирующая  напряженность  поля  и  области  между 



плоскостями описывается формулой (1.9), а вне объема, ограниченного плоско-

стями, равна нулю. 

3.  Поле   равномерно   заряженной   сферической   поверхности.  

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномер-

но с поверхностной плотностью σ+. 

Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, созда-

ваемое  им,  обладает  сферической  симметрией.  Поэтому  линии  напряженности 

направлены радиально (рис.10). 

 

0

0



E

0


 

11 


Рис. 10 

Построим  мысленно  сферу  радиу-

сом  r,  имеющую  общий  центр  с  заря-

женной  сферой.  Если  r>R,  то  внутрь 

поверхности  попадает  весь  заряд  Q, 

создающий  рассматриваемое  поле,  и, 

по теореме Гаусса, 

0

2



Q

r

4



E

.  


Откуда 

2

0



r

Q

4



1

E

   (r≥R).        (1.10) 



 

                  

 

При r > R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точеч-



ного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 11. 

 

Рис. 11 



Если  r  <  R,  то  замкнутая  поверхность 

не  содержит  внутри  зарядов,  поэтому 

внутри  равномерно  заряженной  сфериче-

ской  поверхности  электростатическое  по-

ле отсутствует (Е=0). 

 

4. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконеч-



ный цилиндр радиуса R (рис. 12) заряжен равномерно с линейной плотностью 

τ (


d

dQ



 - заряд, приходящийся на единицу длины).  

Для расчета напряженности электростатического поля в точке, отстоящей 

на расстоянии r от оси цилиндра (см. рис.12) или нити, можно воспользоваться 

формулой (1.11).  

r

4

1



E

0

   (r≥R).                                         (1.11) 



Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэто-

му в этой области Е=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно 

заряженного  бесконечного  цилиндра  определяется  выражением  (1.11), 

внутри же его поле отсутствует. 



 

ЛЕКЦИЯ №3 

r

r



/

 

12 


1.6. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля 

 

Если в электростатическом поле точечного заряда Q из точки 1 в точку 2 

вдоль произвольной траектории (рис.13) перемещается другой точечный за-

ряд  Q


0

,  то  сила,  приложенная  к  заряду,  совершает  работу.  Работа  силы 

F



 



на элементарном перемещении  

 равна 



cos

d

r



QQ

4

1



d

F

dA



2

0

0





.  


Так как d

cosα=dr, то 



dr

r

QQ



4

1

dA



2

0

0



.  

Работа при перемещении заряда Q из точки 1 в точку 2 

2

0

1



0

0

r



r

2

0



0

r

r



12

r

QQ



r

QQ

4



1

r

dr



4

QQ

dA



A

2

1



2

1

                 (1.12) 



не зависит от траектории перемещения, а определяется только положения-

ми начальной 1 и конечной 2 точек. 

 

 

Следовательно,  электростатическое  поле 



точечного заряда является потенциал ь н ы м

а  электростатические  силы  -

 

консервативны-

ми.  

Из  формулы  (1.12)  следует,  что  работа,  со-

вершаемая при перемещении электрического за-

ряда  во  внешнем  электростатическом  поле  по 

любому замкнутому пути L, равна нулю, т.е. 

                Рис. 13                                                            

0

dA

L



.                              (1.13) 

Из формулы (1.12) следует, что работа, совершаемая при перемещении электри-

ческого заряда во внешнем электростатическом поле по любому замкнутому пути 

L, равна нулю, т.е. 

0

dA

L



.                                                         (1.13) 

Если  в  качестве  заряда,  переносимого  в  электростатическом  поле,  взять  еди-

ничный точечный положительный заряд, то элементарная работа сил поля на пу-

ти  


  равна 





d

E



d

E

1



,  где  Е

1

  =  Е  cosα  -  проекция  вектора 



E

  на  направление 



элементарного перемещения. Тогда формулу (1.13) можно записать в виде 

0

d



E

d

E



L





.                                       (1.14) 

 

13 


Интеграл 

L

d



E

d

E





  называется      циркуляцией  вектора      напряженно-



сти.  Следовательно, циркуляция вектора напряженности электростатического поля 

вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, обладающее свойст-

вом  (1.14),  называется  п о т е н ц и а л ь н ы м .   Из  обращения  в  нуль  циркуляции 

векторе 


E

  следует,  что  линии  напряженности  электростатического  поля  не  могут 



быть замкнутыми, они начинаются и кончаются на зарядах (соответственно на по-

ложительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность. 

 



  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


©emirsaba.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

войти | регистрация
    Басты бет


загрузить материал