2-аксиома: N жиынында кез келген а натурал санынан кейін келетін бір ғана натурал сан болады, яғни a = b => a′= b′.
3-аксиома: Кез келген натурал сан бір ғана натурал саннан кейін келеді, яғни a′= b ′ => a = b.
4-аксиома (индукция аксиомасы): М натурал сандар жиынында 1 саны және әрбір a санымен қатар a′ саны да бар болса, онда осы жиын натурал сандар жиынымен беттеседі, яғни М= N.
Осы аксиомаларды Пеано аксиомалары деп атайды.
1-теорема: Егер A тұжырымы 1 саны үшін және А-ның n натурал саны үшін де ақиқат екендігінен n′ үшін де ақиқат екендігі шықса, онда А кез келген натурал сан үшін де ақиқат болады.
Дәлелдеу: М-деп А тұжырымы ақиқат болатын барлық натурал сандар жиынын белгілейік. Теореманың шарты бойынша А тұжырымы 1 саны үшін ақиқат олай болса 1€М.
Егер n€М, яғни А тұжырымы n үшін ақиқат болса, онда теореманың шарты бойынша n′ үшін де ақиқат, онда n′€ М. Демек, 4-аксиома бойынша М=N. Сондықтан А тұжырымы барлық натурал сандар үшін ақиқат болады.
Математикалық индукция әдісімен дәлелдеу екі бөліктен тұрады:
А тұжырымы 1 саны үшін ақиқат екені дәлелденеді.
А тұжырымы n саны үшін ақиқат деп алынып, ол n′=n+1 үшін дәлелденеді.
2-анықтама. М бос емес жиынындағы белгілі бір ретпен алынған а, в элементтеріне осы жиынның с элементін сәйкес қоятын ережені М жиынында берілген алгебралық операция деп атайды және a * b =с (a,b,с € М) деп белгілейді. Қосу операциясы үшін “*” таңбасының орнына “+” таңбасы қолданылады.
3-анықтама. Натурал сандарды қосу деп
a+1= a′
a + b ′=( a + b)′ (a, b € N)
қасиеттері бар N жиынында анықталған алгебралық амалды айтады, a + b a, bсандарының қосындысы, ал a, b - қосылғыштар деп аталады.
