Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
Комплекс сандардың жазылу түрлері
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
| 4.2.4 Комплекс сандардың жазылу түрлері
z саны z комплекс санының түйіндесі деп аталады. Егер болса, онда , яғни z және z тек жорамал бөлігінің таңбасы бойынша ғана ерекшеленеді. Комплекс сандардың жазылу түрлері: а) алгебралық (6) б) тригонометриялық (7) в) көрсеткіштік (8) Бұл формулалардағы - комплекс санның модулі, -аргументі. Комплекс сандарды дәрежелеу мен түбір табуды қарастырайық. санын оң бүтін дәрежеге шығару үшін өрнегіне Ньютон биномын қолдану жеткілікті. Егерде комплекс сандар алгебралық және тригонометриялық формада: , берілсе, онда алдындағы көбейту амалының негізінде -натурал саны үшін Муавр формуласы деп аталатын келесі теңдікті аламыз: , (9) яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көбейткішіне көбейтіледі. Енді комплекс санынан дәрежелі түбір табу керек болсын. Айталық, ол саннан түбір табылып, нәтижесінде сан алынсын, яғни . (10) Сонда Муавр формуласы бойынша, яғни , мұнда теңдіктің оң жағында оң нақты санының дәрежелі оң бірмәнді анықталған түбірлері тұр. Бір жағынан (10) теңдіктің сол жағындағы аргументте бар. Бірақ -ді -ға тең деп қарауға болмайды, себебі бұл бұрыштардың бір бірінен айырмашылығы мынада: мұндағы бүтін сан, бұдан керісінше, егер біз санын алсақ, онда кез келген бүтін оң немесе теріс мәнінде бұл санның дәрежесі санына тең. Демек, . (11) мұндағы -ға түрлі мәндер бере отырып, түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз. Комплекс санның дәрежелі түбірін әрқашан табуға болады және оның әртүрлі мәні болады. -ші дәрежелі түбірдің барлық мәндері центрі бас нүктеде жататын радиусы тең болатын шеңберді тең бөлікке бөледі (3-сурет). 3-сурет 3-мысал: үшінші дәрежелі түбірді есептейік. Шешуі: болса, онда болса, онда болса, онда Сонымен, формуласындағы , , аралығында өзгеретін - аргументтің бас мәні деп аталып, келесі формула бойынша есептеледі: (12) Аргументтің жалпы мәні Argz: ±1, ±2, ... формуласымен есептеледі. Көрсеткіштік санды көрсеткіштік түрден тригонометриялық түрге ауыстыру, және керісінше түрлендіру Эйлер формулалары арқылы жүзеге асырылады: (13) сондықтан (14) (15) (16) 4-мысал. комплекс санының модулі мен аргументінің мәндерін анықтаңыз: а). Шешуі: (4) формулаға сәйкес: болғандықтан векторы комплекстік жазықтықтың үшінші ширегінде жатады (1-сурет) және (5) формула бойынша: Жауабы: 2; b). Шешуі: болғандықтан (5) формуласына сәйкес: Жауабы: 2; с). Шешуі: Ереже бойынша екі комплекс санды бөлу амалын орындаймыз: Сондықтан Жауабы: 1; жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|