Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
Ортогонал түрлендіру және оның қасиеттері
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
- Бұл бет үшін навигация:
- 8-анықтама.
| 3.2.3 Ортогонал түрлендіру және оның қасиеттері
7-анықтама. n-өлшемді векторлық кеңістігінің сызықты операторының n әртүрлі меншікті мәндері болса, онда -ді жай спектрлі сызықты опреатор деп атайды. Осы жағдайдағы меншікті мәндер оператордың меншікті спектрі деп аталады. 8-анықтама. Евклид кеңістігінің сызықты түрлендіруі ортогонал деп аталады, егер барлық элементтері үшін (8) теңдігі орындалса. 10-анықтама. Сызықты түрлендіруінің матрицасы ортогонал деп аталады, егер немесе теңдігі орындалса, мұндағы - бірлік матрица. 8-теорема. Евклид кеңістігіндегі сызықты түрлендіруі ортонормалданған базисте ортогонал болу үшін, осы түрлендірудің матрицасы ортогонал болуы: немесе (9) қажетті және жеткілікті. Жоғарыдағы теоремалардан: кез келген ортогонал түрлендірудің кері түрлендіруі бар, ал ортогонал матрицаның кері матрицасы бар. Ортогонал түрлендірудің қасиеттері: 1. бірлік түрлендіру - ортогоналды. Дәлелдеу. , онда теңдігі орындалады. 2. Егер мен ортогонал түрлендірулер болса, онда де ортогонал түрлендіру. Шынында да, 3. Егер ортогонал түрлендіру болса, онда түрлендіру де ортогонал. Дәлелдеу. ортогонал түрлендіру болғандықтан, (): теңдігі орындалады. 4. Егер ортогонал түрлендіру болса, онда ортогонал болуы үшін, болуы қажетті және жеткілікті. Дәлелдеу. Осыдан теңдігі орындалуы үшін, болуы қажетті және жеткілікті. 5. Егер ортогонал түрлендіру болса, онда ол элементтің ұзындығын өзгертпейді, яғни . Дәлелдеу. Барлық үшін (9) теңдіктен теңдігін аламыз. 6. ортогонал түрлендіруінің меншікті мәні -ге тең. Дәлелдеу. Егер болса, онда Осыдан, . 7. ортогонал түрлендіруінің әртүрлі меншікті мәндерінің меншікті элементтері ортогонал болады. Дәлелдеу. және болсын, теңдігін дәлелдейік. Ол үшін скаляр көбейтіндісін қарастырайық: Осыдан , мұндағы . Онда, . Осы сияқты кеңістігінің ортогонал түрлендіруінің ортогонал матрицасына төмендегі қасиеттер дәлелденеді. 1. бірлік матрица ортогонал. 2. Егер мен матрицалары ортогонал болса, онда матрицасы да ортогонал болады. 3. Егер матрица ортогонал болса, онда ортогонал болады. . 4. Егер ортогонал болса, онда ортогонал болуы үшін, болуы қажетті әрі жеткілікті. 5. ортогонал матрицаның меншікті мәндері комплекс болуы мүмкін, мысалы матрицасы ортогонал, яғни , ал оның меншікті мәндері комплекс сандар: 6. Егер ортогонал матрицаның меншікті мәні нақты сан болса, онда ол -ге тең. жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|