Лекция 1 Матрицалар және анықтауыштар
жүктеу/скачать 1,93 Mb.
|
Конспект лекции Алгебра және сандар теориясы
| 4-теорема. саны сызықты операторының меншікті мәні болуы үшін, ол оның сипаттамалық көпмүшелігінің түбірі болуы:
қажетті және жеткілікті. матрицасының меншікті векторы бағана бұлар меншікті вектордың сызықты операторының кординаталарынан құралған, алынған базистегі матрицасы -ға тең. Меншікті вектор және матрицанын меншікті мәндерін табу жолдарын қарастырайық. екені белгілі, мұндағы Е бірлік матрица болса, онда теңдеуді мына түрде жазуға болады: (5) Егерде (5) теңдікті ашып жазатын болсақ, онда ол сызықтық біртекті теңдеулер жүйесін көрсетеді: (6) меншікті вектордың координаттары үшін (6) жүйесінің төмендегі анықтауышы А матрицасының сипаттамалық анықтауышы деп аталады: Егер оны ашсақ, онда -ға салыстырмалы n-ші дәрежелі көпмүшелікті аламыз: бұл көпмүшелікті матрицасының сипаттамалық көпмүшелігі деп атайды. Оның коэффициенттері А матрицасының элементтеріне байланысты, ал ең жоғарғы жанындағы коэффициент ге тең. (6) жүйенің анықтауышы нөлге тең болған жағдайда ол біртекті сондықтан оның нөлге тең емес шешуі бар. Анықтауышты нөлге теңестіріп, А матрицасының сипаттамалық теңдеуі деп аталатын мына теңдеуді аламыз: (7) Сипаттамалық теңдеудің түбірі матрицаның меншікті мәндері бола алады. Сипаттамалық (5) теңдеудің кез-келген түбірін алып, оны (6) жүйедегі орнына қоямыз. Онда жүйенің анықтауышы нөлге тең болады және оның нөлдік емес шешулері болады. Жүйенің нөлге тең емес шешуін тауып алынған меншікті мәнге тән меншікті вектордың координаттарын аламыз. Сипаттамалық теңдеудің басқа түбірлері үшін (7) теңдеудің басқа шешуі табылады, яғни басқа меншікті вектор. А матрицаның элементтері нақты болсын. Онда оның сипаттамалық теңдеуінің коэффициенттері де нақты болады. Кейде оның түбірлері комплексті болып келуі де мүмкін. Сонымен, нақты матрицаның да комплексті меншікті мәндері болуы мүмкін. Егер нақты матрицаның меншікті мәні комплексті болса, онда сәйкес меншікті вектордың координаттары да комплексті. Сипаттамалық теңдеудің дәрежесі n-ге тең болса, онда оның n түбірі болады (нақты немесе комплексті). Олардың арасында еселі түбірлер де болуы мүмкін. Сондықтан А матрицасының әртүрлі меншікті мәндерінің саны n-нен кіші болады. Әртүрлі меншікті мәндері бар - ші ретті матрицаның әр уақытта сызықтық-тәуелсіз меншікті векторлары болады. Сипаттамалық теңдеудің еселі түбірлер жағдайын қарастырмаймыз, өйткені оны үйрену үшін матрица теориясының өте терең мағлұматтары қажет болады. жүктеу/скачать 1,93 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|