Лекция 3 Тақырыбы: Сақиналар үшін изоморфизм теоремалары. Мақсаты

Íàºòû ñàíäàð æèûíûíû» iøêi æèûíû áîëûï òàáûëàòûí Q ðàöèîíàë ñàíäàð æèûíû äà ºîñó æ¸íå ê¼áåéòó àìàëäàðûíà ºàòûñòû ¼ðiñ áîëûï òàáûëàäû. Îíû ðàöèîíàë ñàíäàð ¼ðiñi äåï àòàéäû.

(2) C={(x,y)  x,yR} æèûíûí ºàðàñòûðàéûº. Îíû» (x₁,y₁) æ¸íå (x₂,y₂) ýëåìåíòòåði òåê x₁=x₂ æ¸íå y₁=y₂ áîë¹àíäà, æ¸íå òåê ñîíäà ¹àíà òå» áîëàäû. C æèûíûíäà ºîñó æ¸íå ê¼áåéòó àìàëäàðûí ñ¸éêåñiíøå ò¼ìåíäåãiøå áåðåéiê:

(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂), (1)

(x₁,y₁)(x₂,y₂)=(x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+y₁x₂). (2)

Îñû åêi àìàë¹à ºàòûñòû C æèûíûíû» ¼ðiñ åêåíií ä¸ëåëäåéiê. Îë ¾øií, àíûºòàìàäà¹û 1⁰  9⁰ àêñèîìàëàðäû» îðûíäàëàòûíûí òåêñåðó æåòêiëiêòi.

1⁰. (3.1) òå»äiê ïåí íàºòû ñàíäàðäû ºîñóäû» àññîöèàòèâòiëiãiíåí øû¹àäû.

2⁰. (0,0). Øûíûíäà äà, (x,y)C ¾øií (1) áîéûíøà (x,y)+(0,0)(x,y).

3⁰. =(x,y)C ¾øií -=(-x,-y)C . Ñåáåái, (x,y)+(-x,-y) (0,0).

4⁰. (3.1) òå»äiê ïåí íàºòû ñàíäàðäû ºîñóäû» êîììóòàòèâòiëiãiíåí øû¹àäû.

5⁰. ((x₁,y₁)(x₂,y₂))(x₃,y₃)=(x₁x₂-y₁y₂,x₁y₂+y₁x₂)(x₃,y₃)=

=(x₁x₂x₃-y₁y₂x₃-x₁y₂y₃-y₁x₂y₃,x₁x₂y₃-y₁y₂y₃+x₁y₂x₃+y₁x₂x₃)=

=(x₁(x₂x₃-y₂y₃)-y₁(y₂x₃+x₂y₃),x₁(x₂y₃+y₂x₃)+y₁(-y₂y₃+x₂x₃))=

=(x₁,y₁)((x₂,y₂)(x₃,y₃)).

6⁰. 1(1,0)C. Ñåáåái, (x,y)C ¾øií, (2) áîéûíøà, (x,y)(1,0)(x,y).

7⁰. Íîëüäiê åìåñ =(x,y)C ¾øií ^-1(x/(x²+y²),-y/(x²+y²))C. Øûíûíäà äà, (11.2) áîéûíøà (x,y)(x/(x²+y²),-y/(x²+y²))=(1,0).

8⁰. (3.2) òå»äiê æ¸íå íàºòû ñàíäàðäû ê¼áåéòó ìåí ºîñóäû» êîììóòàòèâòiëiãiíåí øû¹àäû.

9⁰. ((x₁,y₁)+(x₂,y₂))(x₃,y₃)=(x₁+x₂,y₁+y₂)(x₃,y₃)=

=(x₁x₃+x₂x₃-y₁y₃-y₂y₃,x₁y₃+x₂y₃+y₁x₃+y₂x₃)=

=(x₁x₃-y₁y₃)+(x₂x₃-y₂y₃),(x₁y₃+y₁x₃)+(x₂y₃ +y₂x₃))=

=(x₁,y₁)(x₃,y₃)+(x₂,y₂)(x₃,y₃).

Ñîíûìåí, C æèûíû ¼ðiñ áîëàäû åêåí. Îíû êîìïëåêñ ñàíäàð ¼ðiñi äåï àòàéäû. Êîìïëåêñ ñàíäàð ¼ðiñiíi» ýëåìåíòòåði êîìïëåêñ ñàíäàð äåï àòàëàäû.

(3) Åêiíøi ðåòòi êâàäðàò ìàòðèöàëàðäû»

M₂(a,b)={ a,bR}

1⁰, 5⁰ àêñèîìàëàðäû» îðûíäàëàòûíäû¹û ñ¸éêåñiíøå ìàòðèöàëàðäû ºîñó ìåí ê¼áåéòó àìàëäàðûíû» àññîöèàòèâòiëiãiíåí øû¹àäû. 4⁰ àêñèîìàíû» îðûíäàëàòûíäû¹û ìàòðèöàëàðäû ºîñó àìàëûíû» êîììóòàòèâòiëiãiíåí øû¹àäû.

7⁰. , ^-1 M₂(a,b):

9⁰ àêñèîìàíû» îðûíäàëàòûíäû¹û ìàòèöàëàðäû ê¼áåéòó àìàëûíû» ºîñó àìàëûíà ºàòûñòû äèñòðèáóòèâòiëiãiíåí øû¹àäû.

Ñîíûìåí, M₂(a,b) æèûíû ìàòðèöàëàðäû ºîñó æ¸íå ê¼áåéòó àìàëäàðûíà ºàòûñòû ¼ðiñ áîëàäû åêåí. Á½ë ¼ðiñ àëäû»¹û ìûñàëäà¹û êîìïëåêñ ñàíäàð ¼ðiñiíå èçîìîðôòû áîëàäû. ´ðiñòåðäi» èçîìîðôòûëû¹û ñûçûºòû êå»iñòiêòåðäi» èçîìîðôòûëû¹ûíà ½ºñàñ àíûºòàëàäû. ´ðiñòåð èçîìîðôèçìiíäå ºîñó æ¸íå ê¼áåéòó àìàëäàðûíû» ñàºòàëóû òàëàï åòiëåäi.

4-Àíûºòàìà. P æ¸íå P’ – ºîñó æ¸íå ê¼áåéòó àìàëäàðû ñ¸éêåñiíøå + æ¸íå  àðºûëû áåëãiëåíãåí ¼ðiñòåð áîëñûí. Åãåð ò¼ìåíäåãi øàðòòàðäû ºàíà¹àòòàíäûðàòûí f: PP’ áåéíåëåói áàð áîëñà, îíäà P æ¸íå P’ ¼ðiñòåði èçîìîðôòû äåï àòàëàäû:

1. 
   f: P P’ – áèåêòèâòi áåéíåëåó,
   
2. 
   f(x+y)=f(x)+f(y), õ,ó P,
   
3. 
   f(xy)=f(x)f(y), õ,ó p.
   

P ¼ðiñiíi» õàðàêòåðèñòèêàñû äåï áàðëûº P ¾øií n= æ¸íå íîëüãå òå» åìåñ n-íåí êiøi êåçêåëãåí á¾òií k ìåí P ¾øií k áîëàòûíäàé n íàòóðàë ñàíûí àéòàäû. Åãåð äå êåçêåëãåí P æ¸íå êåçêåëãåí íîëüäåí ¼çãåøå n á¾òií ñàíû ¾øií n áîëñà, îíäà ¼ðiñ õàðàêòåðèñòèêàñû íîëüãå òå» äåï åñåïòåëåäi. P ¼ðiñiíi» õàðàêòåðèñòèêàñû char P àðºûëû áåëãiëåíåäi.

Æî¹àðûäà êåëòiðiëãåí ìûñàëäàðäà¹û ¼ðiñòåðäi» áàðëû¹ûíû» õàðàêòåðèñòèêàñû íîëüãå òå». Åãåð ¼ðiñ õàðàêòåðèñòèêàñû íîëüãå òå» áîëìàñà, îíäà îíû» æàé ñàí åêåíií ä¸ëåëäåóãå áîëàäû.

Æî¹àðûäà àéòºàíûìûçäàé, ñûçûºòû êå»iñòiêòi ¼ðiñêå ºàòûñòû àíûºòàó¹à áîëàäû. Îë ¾øií §5.1 ïóíêòòåãi àíûºòàìàäà íàºòû ñàíäàðäû P ¼ðiñiíi» ýëåìåíòòåðiìåí àëìàñòûðó êåðåê. Ñîíäà, L æèûíû P ¼ðiñi ¾ñòiíäåãi ñûçûºòû êå»iñòiê äåï àòàëàäû. Á½ë æà¹äàéäà P ¼ðiñií ñêàëÿðëàð ¼ðiñi, àë îíû» ýëåìåíòòåðií ñêàëÿðëàð äåï àòàéäû. P