Енді иілу нүктесін табуға мүмкіндік беретін қажетті және жеткілікті шарттарды қарастырайық.
Иілу нүктесі бар болуының қажетті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының (x0, f(x0)) нүктесі иілу нүктесі болса, онда . Шынында да, (x0, f(x0)) иілу нүктесі болғандықтан х0нүктесінің оң және солжағында таңбасы түрліше болады. Екінші туындының үзіліссіздігіне байланысты болатындығы шығады.
Анықтама.Екінші туындысы нолге айналатын не болмайтын нүктелер функцияның ІІ-текті күдікті нүктелері деп аталады. Иілу нүктесі бар болуының жеткілікті шарты. (а,в) интервалында екі рет дифференциалданатын y=f(x) функциясының екінші туындысы х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда (x0, f(x0)) нүктесі функцияның иілу нүктесі болады. Мысал. (Гаусс қисығы) функциясының иілу нүктелері мен дөңестік аралықтарын тап.
Шешуі. 1) Функция бүкіл сан осінде анықталған, яғни D(y)=. Бірінші және екінші туындыларын табамыз:
;
.
ІІ-текті күдікті нүктелерін шартынан табамыз: . болғандықтан, . Осыдан және күдікті нүктелер табылады. Осы нүктелер анықталу облысын үш интервалға бөледі:
, , .
Осы интервалдардағы екінші туынды таңбасын анықтаймыз (4-сурет):
у
1
+ - +
х
ойыс дөңес ойыс 0
4-сурет 5-сурет
Сонымен,функция графигі және аралықтарда ойыс, ал аралықта дөңес болады екен. Екінші ретті туынды нүктелерден өткенде таңбасын өзгертетіндіктен, бұл нүктелер функцияның иілу нүктелері болады. Функция графигі 5-суретте кескінделген.
