Үлестірім тығыздығы Үзіліссіз кездейсоқ шаманы үлестірім функциясынан басқа жолмен де беруге болады. Оның басты сипаттамасы – ықтималдықтардың үлестірім тығыздығы.
Анықтама. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының үлестірім тығыздығы (жәй үлестірім тығыздығы немесе үлестірімнің дифференциалдық функциясы, белгіленуі f(x) ) деп оның үлестірім функциясының туындысы айтылады, яғни f(x) = F′(x) .
Үлестірім тығыздығының ықтималдық мағынасын анықтайық. Туындының анықтамасы бойынша Δx→0 болғанда
f(x) = F′(x) = Δx→0lim = Δx→0lim болғандықтан және ол (х,x+Δх) интервалындағы орта ықтималдықты білдіргендіктен, f(x) функциясы х нүктесіндегі және оның аймағындағы ықтималдықты сипаттайды.
Айта кетелік, үлестірімнің дифференциалдық функциясы, интегралдық функция сияқты үлестірім заңының бірі болады, бірақ интегралдық функция сияқты универсалды бола алмайды. Үлестірім тығыздығы тек үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін ғана анықталады.
f(x) функцияның қасиеттері 1. Х-тің [a,b] интервалына түсу ықтималдығы келесі формула бойынша анықталады:
Расында, .
2. .
Расында,
3."х ұшін f(x) ≥ 0. Себебі f(x) = F′(x), бырақ F(x) кемімелі емес, сондықтан F′(x)≥0, олай болса f(x) = F′(x)≥0 болады.
4.
Бірінші қасиетте a =-∞, b=∞деп есептейік, онда
P (-∞ f(x) үлестірім тығыздығының графигі үлестірім қисығы деп аталады және ол төмендегідей бейнеленеді:
2 сурет
Егер анықталған интегралдың геометриялық мағынасын еске түсірсек, яғни қисық сызықты трапецияның ауданы, онда f(x) қасиеттерінің геометриялық интерпретациясын аламыз.
3 суретте жолақпен белгіленген облыстар сәйкес: а) Х-тің [a,b] интервалына , б) (-∞, x ) интервалына , ал в) ( -∞, ∞ ) интервалына тұсу ықтималдығына тең болады.
