Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

88
х т 
qm
Гл. 1. Введение в анализ
X q m + r
qX m
X
qm + г 
qm + г
т 
qm + г 
п
Хп
и
^ х п 
( 
е \
qm 
, х г ^ 
, е , хг
“ ^ T < la + 2J
< а + — Н------
gm + г 
га 
2
га
Поскольку O s C r ^ m + l,T o хг ограничено и существует такое число N(e), что при п > N(e)
„ „ х г 
е 
О ^ — < •=-
га 
2
А тогда с* ^ — < « + ^ + | = а + е при га > N(e), так что lim — = а. ►
п
* 
* 
п - ю о п
П
112. 
Доказать теорему Теплица: пусть 
1
) 
Рпк
> 
0
; 
2
) 
2
_,P„fc 
= 
1
; 3) lim 
Р„к —
0
* ^
п —»оо
при каждом фиксированном к; 
4) 
lim хп = а. Тогда последовательность с пленами t„ =
П —► ОО 
П
E
PnkXk сходится и lim t n = а.
П —► ОО
fca 
1
Из условия 4) вытекает существование такого числа N = N(e), что неравенство
|х „ -
а\ <
|
выполняется для всех п > iV(e); далее, из этого же условия вытекает существование такого 
числа М  > 
0
, что
|х„| 
|хп.— а| ^
2
М
для всех п. Наконец, из условия 3) следует существование такого числа по =
по(е) 
> N , что
е
Рпк
<
4 N M ’
к =
1
, ЛГ,
для всех п > по.
-Пользуясь этими неравенствами и условиями 1)—
2
) теоремы, получаем
У
JnfcXfc — а
fc=i
У
Pnfcifc -
у
У
Рпк(хк —
о)
^ ^ ^ P n k U k  — о| =
к=1
=
— «| +
Рп-г\х
2 — а| + . . . +
P
k n
\
x n
— а| + /njv+i|xjv+i — а| + . . . +
Рпп
|х„ — а| ^
^ ^ • 4 ^ М '2М +1(/>пЛГ+1+ •• +Рпп)<| + | =£
П
для всех га > По, т. е. lim i n — lim ^ РпкХк = «■ ►
п —* о о
м —* СО 
1
113. 
а) Доказать что если последовательность (х„) сходится, то последовательность 
средних арифметических (£„), где
£ п = i ( x i + Х2 + . • • + Х п ) ,
п
также сходится и lim £п = lim х„.
п —»оо 
п —►
оо
б) 
Доказать, что если последовательность (уп) сходится и 
> 0 Vrt Е N, то последова­
тельность средних гармонических
7 п '  i - + i + . . . + i
У1 
У2 
У»
также сходится и lim уп = lim уп-
п —^оо 
п —►оо
N в) Доказать, что если lim уп = + °° > то
п —► СО
lim jn  = + °° и 
lim 
= +°°.
п — ОО 
п — оо
где 
7
П — среднее гармоническое, а 
среднее арифметическое из чисел з/i, ^
2
) . • ■, уп *

< а) Если положить Рпк = £■(!• =
1
, п; п € N), то для Рпк и х п будут выполнены все
П
условия примера 
112
, причем tn = У РпкХк =£п- Следовательно, lim £п = Цщ хп. 
г
П-* ОО 
Г>—
*О
0
‘
б) Пусть
— 
■
Рп к = -
------J——------------- 
О = 1, « ), 
Хп = уп.
----
V
----
V
. . • -Ь —~
2/1 
2/2 
Уп
Тогда все условия примера 112 будут выполнены, причем t n = Уп. Следовательно, lim Уп «
i •
lim
п —*оо
в) Покажем, что если 
lim 
— =
0
,то 
lim
— = 0. А это эквивалентно тому, что lim; ‘уп **
П—
*00 &п 
П—
«-ОО 
П—
*г
+оо. Испрльзуя пример 112 и полагая
Р
п
к
 =
 
(& = 1, н), 
Х п =
,
к 
2
/" 
, 
- д 
- / :
п
-Г--'
получаем, что t n = У Рпкх к = — и 
lim
— = 
lim 
— =
0
.
^
т» 
П
-.00
тя 
п ^ о о
Ия 
; JJ*
Утверждение, что Нт £п = +°о, следует из неравенства (см. пример 42) 
7
п 
£п И НЗ
П
—*00
того, что 
lim 
у п
= +оо. 
►
f 
■
-
П
—*00
1 1 4 . Доказать, что если последовательность (х„) сходится и хп > 0, то 
' 
11
* 'г ц?-
lim 
у/хiX
2
... х п =
lim 
хп- _> 
; V
:1
п—
* СО 
П —
*00 
-
•Ц Имеем (см. пример 42) 
*
Тп — 
I-"-
у
^ 
у / Х \ Х 2
• • • Хп ^ 
ЧЛ»
*1
 
*2
 
Хп 
.. 
■
».
А поскольку 
lim 
уп =
lim 
( п =
lim
х„ (см. пример 113), то 
1
'
и —*оо 
п —*оо 
п —»оо
lim i/ x iX
2
 
. . . Х п =
lim х„. ►
" / •
п —* 
ОО 
п —*о о
г.„
1 1 5 . Доказать, что если V« € N хп >
0
, то 
. 
“
lim 
у / х ^ п
= lim
п—
*оо 
п —*о о
Хп—1
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.
◄ Доказательство следует из того, что
lim 
у / х ^ =
lim ? 
1 х \
• —
= lim 
—
—
n —*о о
н —* оо U 
T l
Х 2
Х п
—1 
п —*оо 
Х п
—1 
' 
и 1 '
(см. пример 114). ►
1 1 6 . Доказать, что 
lim 
—_= = е .
П-*СО y/nl 
• 
дА
■4 Заметим, что 
•
И 
n/Wn 
п /---
^ П 
, 
| V
П
“ 1
где хп = —г. Поскольку 
lim 
—— =
lim
(1
4
------) 
= е, то на основании примера 115
П- 
n- ю ' « - 1 
п — оо v 
п-1/
получаем требуемое утверждение. ► 
, . ,
1 1 7 . Доказать теорему Штольца: если 
>
а) V» € N Уп+i > уп ; 
6
) 
lim 
у„ = +оо; в) существует 
lim 
— — Zn~1
; 
тоо
П
-.00
 
П
-.00
Уп — Уп—1 
о:
V 
Х
п
 
». 
Х п
Х п
—1
п т — = пш ------------- .
п —*о о
уп 
п - *о о
уп — Уп—
1
§ 6. Предел последовательности 
S$

60
Гл. 1. Введение в анализ
◄ 
Пусть lim 
- п
? л - Х — а ( а
— конечное). Тогда если считать, что 
уо
= 0, 
хо 
= 0 
и
п - о о
У п-У п
- 1
 
'
Р
п
к
 '■
Ук - У к - \
, 
-л------ 
v
Хт
к
= 1, 71, 
Х п =
' Хп —
1
Уп
Уп ~ У п - 1
то получим выполнение условий теоремы Теплица (пример 112) для Рпк и Х Пу причем t n = 
*»
Уп
Следовательно, lim ^ = Jim tn — Jim Х п = lim
n—
*• оо
Если lim
П —bOO 
Уп —
1
Уп
n - ^ o o
n - * c o
n —* оо 
У * “ У п —
l
= +oo, то повторяем приведенные выше рассуждения для последова­
тельности
, предварительно убедившись, что xn+i > хп, начиная с некоторого т»о 
6
N ,
и lim х„ = +оо. ►
п —*оо
1 1 8 .
Доказать, что если р — натуральное число, то:
а) Ь т
6) Ь т
\
1
п —.о о
ц Р ^ ^
р  + 1 
п —.о о у
7гр
р  -|- 1 J  
2
ч 
1
Р + Зр + . .. + (
2
в +
1
)р 
2
Р
в) lim
71 ? +1 
р + 1
◄ Для доказательства применим теорему Штольца (пример 117). Докажем пункт б) (пунк­
ты а) и в) доказываются аналогично).
б) Если положить х п = (р + 1)(1Р + 2Р + . . . + пр) — пр+1, уп = (р + 1)»р, то 
(р +
1
)( п + !)» > -( в +
1)р+1 + » р+1 
(р +
1
)((п +
1
)р - пр)
1 < 
Х п + 1 ■“ Х п
т
lim — -и-------= lim
п - ю о
2 /п + 1 — 
Уп
lim
п-^оо
(р +
1
) (п р + рпр- ‘ + sL£zilnP~2 + . . . + l )
( р  + 1 ) ^ 7 ip + p t l P - 1 + 2 Ц р И п р - 2 _|_ 
_|_ 1 — 
n p J
- 7 i p + 1 - ( p  + 1 ) n p - I s i p s - n ” - 1 — . . . — 1 + 7»p +1
(P + !) (
nP
+ P7tp_1 + . . . + s iE z ll
n P - 2
+ . . . + 1
Соберем коэффициенты при одинаковых степенях гг. Затем разделим числитель и знамена­
тель на п
р-1
и обозначим через 
о
( - ) сумму всех членов со степенями не выше —
1
; получим
Km ^ ± 1 - *- = lim 
-
1
-
п — оо J/n
+1
— Уп
р(р + 
1
) + о (^ ) 
2
1 1 9 .
Доказать, что последовательность (хп), где
Хп — 
1
+ — + — + . .. -|------ In гг,
2
О 
71
сходится. Таким образом, имеет место формула
1
1 
+ —
+ — + . .. + — = С +
1
п
7
г + е„,
где С = 0,577216 ... — так называемая постоянная Эйлера и е„ —►
0
при гг —. оо.
◄ Так как x„+i — х„ =
— ln(n +
1
) + In гг =
— In (l -f i )
< 0
(см. пример 82, a)),
то Последовательность (х„) монотонно убывающая. Кроме того, она ограничена снизу:
*п = 1 + \ + \ + . . . + ± - Ы п >  Ь
(1
+
1
) +
1
п ( l + i ) +
1
п 
^1
+
+ . .. +
1
п 
^1
+ i ) - Inn =
, Л 3 4 гг + 1 1 \ 
, 7 1 + 1 
1
=
1
п 
2
-
-
— --------) =
1
п - ^ — > — — >
0
.
\
2
3 
п 
п )
п 
п
+ 1
Поэтому существует конечный предел С, а тогда справедливо представление
, 
1 1
1
, 
,,
1 + — + — + — + — — 1птг — С + еп,

§ 6. Предел последовательности
где е„ —+ 
0
при г» —*■ 
00
.
► 
- 
--.и ■> i -ч ►:
1 2 0 .
Найти lim ( —
n-*oo N tl'fl 
в ^ 2
2 п /
◄ Пусть z„ = 1 + \ + . .. +
Тогда
—
Н----- —^ + • • • +
=
Z 2n
-
Zn
 
=
In 
2 n + e 2n - ь n - e „ =
In 
2 + (e 3n — ®n)
n +
1
 
н +
2
 
2
n
(см. пример 119) 
и
lim 
( — ^— 4
---- —гг + . . . +
= In 
2
. ► 
’
n—
*-oo \ w 4" 1 
n 4" 2 
2» /
1 2 1 .
Последовательность (t„ ) определяется формулами
,
Х п —1 4 “ X n —2 
{
ч л 
1
x i — a, 
12
=
0
, 
x„ = --------------- (n = i, 4, ...).
Найти lim x n .
n
—.00
-4 Имеем
X* ~
X k - l —
Xfc
-1
+ Tfc-2
- Xk-l = —
Xk-l — Xk—2
, oA (■' .
Подставляя эти выражения в очевидное равенство 
., ■
•,. .
х п = XI + (Х
2
 - Xl) + (хз - Х2) + . 
+ (хп — *n-l)>“
s ,
получим, начиная со второго слагаемого, геометрическую прогрессию, сумма которой равна
+
. ( D ” b - a = д  I 
2
(Ь ~ о ) 
Ь - а  ( -
1
)“

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: