Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

Г л. 1. Введение в анализ
А так как Хп
+1
= у/хпуп > Ух1 = х п , y„+i =
< уп , то, ввиду того что х п < уп ^
У1, 
У п
^ х п ^ x i, последовательности (i„ ) и (уп), в силу утверждения 2, п. 6.3, имеют 
конечные пределы А  и В  соответственно. Переходя к пределу в равенстве
Х п + У п
Уп-ц — 
2
 
>
получаем, что А = В. Общее значение этих пределов называется средним арифметико­
геометрическим к обозначается символом р(а, Ь). ►
Найти пределы:
62
■Щ
Поскольку
1 
_ ( f c - l ) ( f c +l )
—
к 2 
к 2 
’ 
’
то, записывая произведения в виде
/
J _ \ /
М
Л _ J _ \
Ь З 2 -4 3_5 
( n - l ) ( n + l) 
1
п +
1
V  
22/ V 
З2/ “ * V 
п2/
2
2
' З
2
4
2
** 
п2 
2 ‘ 
и ’
находим, что
,5 ч , ( ’ ' £ ) ( * - р )
( ' -
i )
= „ 5 Ч Л ^
- 5-
125-
(> - D И ) ■- ( ■ - з з з г ) -
2
Имеем
1
•
Тогда
1
(fc-!)(* : + 2 ) 
М£Ш 
*(* +
1
) 
’
к =  2 , » .
n(rt-fl)
2
- Г 
[ 111 —
1
~ niiio V 2 . 3 * 3 . 4 * 4
_6
(и - ! ) ( » +
2
) '\ =
1
« +
2
=
1
• 5 
' 
n(n +
1
) 
J
n—oo 3 
n 
3
Найти пределы векторных последовательностей (хп), где:
◄ Поскольку каждая из последовательностей координат сходится, то, согласно п. 6.7,
Urn х„ = (  lim ( l + Г Г , Urn 
= (е, е " 1). ►
п~сх> 
\ п - о о \ П
/ 
п - « . \ п
+ 1У J 
V 
'
127. xn = ( ^ i± l,
\ и 
2
м 
т п /
◄ Аналогично предыдущему примеру находим
г
/■.. 
и + 1 
п + 1 
м + 1 \
Л 1 
1 \
.
Inn х„ = I Inn ------ , lim —— , . . . , lun ------- ) = (
1
, -х, ■ • •, — ) • ►
« —*■\ п —»оо 
Н 
п —►
 оо 
2 f l
тг—*оо 
Ш И /
\
2
Ш /
1 2 8 . 
х„ 
= ( 72 + 2”, ’( /
2
+
2
- ’*, 
(/2
+ 2 -”2 j .
◄ Покажем, что существуют пределы последовательностей каждой из координат. Из 
неравенств 2 < 7 2 +
2
п < 
2
7 2 и того, что lim 7 2 — 
1
, следует lim 7 2 + 2'* = 2. Далее, из
71—► ОО 
П — ► ОО
неравенств
1
< 
У
2
+ 
2
~п
< 7з, 
1
< 
У
2
+ 
2
- ”2 < 7з
находим, что
lim У 2 + 2~п = 
1
, 
lim У 2 + 2~п2 =
1
.

§ 6. Предел последовательности
■ад
■!
Поскольку пределы последовательностей координат существуют, то существует И п редан 
торной последовательности, а поэтому 
' .:о . „
lim х„ = (  Иш 1/2 +
2
", И т 0 + 2"", lim 0 ~ + 2 - » Л = (2,1, l / V
' ‘
п —►
оо 
\ п —►
оо 
п —* оо 
гг—*о© 
/
• 
.. • , ,-А
12 3 * х п — [xiii) <^
2
п) • • • j Я'тпп) j где
Xin — ( — -ггг Н---
т
-
т
+ • • • + —
j
i =
1
, n, п € N.
\ 
п
+ 1 
п + 2 
п + гн /
Обозначим 
=
1
+ | + ... + 1 . Из примера 119 следует, что
Уп = С + 1пп +
7
„,
где С — постоянная Эйлера, а уп —•►
0
при Ji —*■
оо. Тогда
Xin = »(!+<)„ -
У п = С
+ 1п((1 + t)n) + 7(i+i)« - С - In и -
7
„ = ln(l + t) + 7(i+i)n - 7«- '.'й 
Поскольку 
7
„ -* 
0
, 
7
(
1
+j)„ —►
0
при и —►
оо, то
lim Xin = ln(l + »), 
t — 1, m.
n
—*00
it ■ •; ' i ii!
Следовательно,
Um x n = ( lim 
t i
„, lim x
2
n, . . . , lim x mn J — (In 2, In 3, . . . , la(m + 1))- ►
n
—*00
 
\ n —*oo 
n —*■ oo 
«.—►
 со 
/
1 3 0 .
Пусть задана векторная последовательность (х„), где 
• - 
•
Х п ~  (*Tl n, Х2 п, • • • , Х т п п ) ,
. ■
:
евклидова норма которой стремится к бесконечности.
Обязательно ли существование хотя бы одной последовательности координаты (xin), стре­
мящейся к бесконечности? Рассмотреть пример 
. .
/ (
1
- ( - ! ) > »
(1
+ ( -
Хп -
1
JT F l 
'»
( ~
1
Г ) » 2А 
« 
+ 1
) '
•Щ
Нет, не обязательно. В предложенном примере евклидова норма
_ / (
1
- ( -
1)п)2»4
(
1
+ (-!)")»«* _ 2т?_
llXn|l_W
(Л+
1)2
 
+
(jl +
1)2
 
" п
+ 1
стремится к бесконечности при и —►
оо. Однако ни одна из последовательностей координат
(
1
- ( -
1 ) > 2
_ (1
+ ( -
1 ) > 2
Л 1п — 
} 
* ”2 
п
— 
. -
п +
1
 
п + 
1
не стремится к бесконечности. Действительно, для последовательностей координат 
lim xi„ — +оо, 
lim x in =
0
; 
lim x2n = +oo, 
lim X
2
n — 
0
n —►
о о
тг—* o o
r c —* o o
r i —* c c
и, следовательно, oo не является пределом ни для одной из этих последовательностей.;^
1 3 1 .
Найти предел последовательности (Л.„) = ( a\ j ) , i = 1, р, j  = 1,- q, где
( n )
а). ! — <
—
1
1
, , + — , - 1—;-т + • • • + — А - ,
если j > i,
п
+ in + 1 
п
+ m + 2 
n + jn
. fcr
если t = fo
1 
■ + 
1
, ■
, . . 
, • , o’ + • • • + — г^-» 
если * > i-
n
+
jn
+ 1 n +
jn
+ 2 
n
+
m
◄ Сначала докажем, что каждая из последовательностей п н-►
а ^ /, » =
1
, р, j
ТГя, 
сходится. Пусть, например, j > i. Тогда (см. пример 129) 
• •’
**
1
(») =
1
1 
a,J 
u + in + 1 
н +
tJt 
+ 2
+
. . .
+
и + j n
= 
(
— Т~Г "1-----+ • • • н--------j—Г-Л — 
(
—- Н------
—
+ . . . + —т—1 =
X i n — X i n ,
\ » + 1
и +
2
n + j n J  
чп +
1
и +
2
п + j j i/
*

64
Гл. 1. Введение в анализ
где хы —►
1п(1 + 1) при в -+ оо. Отсюда
(п.)
/т\ . 1 —
" О
—
X j n — Х%
Аналогично при i > j  находим, что
ln(l + j) —ln(l + i) = In 
при п
( п )
1
- * '
а},' = хы  — xjn -* In
1
+ i
1
+3
при n —►
оо.
Наконец, если i = j , то а|; = - -> 
0
при и —►
оо.
Таким образом, все последовательности 
сходятся, поэтому
lim А п = (  Нт 
=
П—
►
СО 
\п-^оо J /
0
l n |
l n |
. .. In f
h f
0
I n f 
. .. In f
b f
0
.. In f
b f
In f 
.
0
1 3 2 . Найти
lim
п —*оо
1
V*i!
1
» +
1
{J2F
l g
п
n + s in
п
л
◄ Все элементы матрицы являются сходящимися последовательностями, поэтому
lim
п —►оо
11
1
1
n
+ 1
\/n ?
l g
n
n + s in n
4
n
2 n
Ит
п
—►
оо 
11
- г 1
Ит ^
п—
*о© 11
„ь“ о т я г
““ v w
4
lim
lim
n —* ОО
n + s in
п
2
n
Упражнения для самостоятельной работы
Доказать следующие равенства:
62. И т —— у—^
+п'п!
п - .о о
(ч + 1)!
=
1
.
f c ( f c + l ) ...( f c + m - l )
83. 
где т — натуральное число.
64. lim ( — —-----L — — | 
| 
1
^ — 
1
n — ОО \ д / " + 1 
y / n 2 + 2
u W
+ n /
65. lim ^ +? ±^ S nr = -i_
( n + l ) r
P+1
где p — натуральное число.
в6' 
£ ИЙ-iT . 
U + m + i )
=
r «e m — натуральное число.
fl
У
fc (fc + l) ... ( f c + m —l )
67* И т is s -----------------------*
1
. 
6 8 . И т ^A l*"(n?b2in(2!3!... n!> _ i
E fc"
П2 + П
69. Пусть Xo > o — произвольно,
£n+i = j ^
2
r n + ■££ j , 
n € 
1
1 0
0
о 
b 
4
Доказать, что lim л:„ = tya.

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: