Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

72
Гл. 1. Введение в анализ
147. 
Пусть х —» 0. Доказать следующие равенства:
а) х sin у/х — х 
2
+
„(Л)
б) In х = о (х е), е > 0;
в) (1 + х)" = 1 + пх + о (х); 
г) arctg —= 0(1).
х
4 
'Записанные равенства следуют из того, что
. .. 
.. 
—ln l 
п
а
1
а) lim ----- — = 1; б) urn х 
In х = lim --------- = 0, 
< = —;
Х - . 4 - 0
-
(-0 
t — + о о
tc 
X
Х
2
в) (1 + х)" = 1 + пх + СДх2 + . .. + х" = 1 + пх + (О^х + . . . + хп-1)х = 1 + пх.+ «(х)х,
где «(х) = С£х + . . . + х п~1 —* 0 при х —♦ 0;
г) |a r c tg i| < | . ►
148. 
Пусть х —
►
О. 
Выделить главный член вида С х п 
(
С — постоянная) и определить 
' порядки малости относительно переменной х следующих функций:
а) х I-* (2х — Зх2 + х5); 
б) х ч* (У1 + х — V l — х);
в) х I—
►
(V l — 2х — v^l — Зх); 
г) х 
(tg х — sin х).
■4 а) Из того что 2х — Зх2 + х5 = 2х + (—Зх + х4)х = 2± + «(х)х, где «(х) —►
0 при х —*• О, 
следует, что 2х — Зх2 + х5 = 2х + о (х), т. е. Сх" = 2х, п = 1.
б) Из равенства lim 
= 1 следует, что Сх = х, n = 1, т. е. У1 + х — V I — х ~ х.
* - О 
х
в) Поскольку
V l - 2х - V l - Зх _
( y i - 2х - (1 - х) 
1 - X - V l - З х "
то С х11 = j x 2, п = 2.
г) Имеем lim 18 T~s"‘— = i поэтому Сх3 = ^-х3, п = 3. ►
х —*0 
х
г 
i
1 4 9 .
Пусть X —> +оо. Выделить главный член вида Сх” и определить порядок роста 
относительно бесконечно большой х следующих функций:
а) х 
{ / х 2 - х  + У х ; б ) х н у^1 + у Т + Ух.
4  а) Поскольку
Urn E E 4 ± V ^ = urn Г у Т Г ^ Г + 1 - ^ = 1,
x — + o o
-
x — + o o  \
)
x 3
'
'
2
TO C x n = хз , n = | .
б)
 
Имеем 
\j
 1 + 
\J\
 + 
yfx
= 
x« \ / x -4 
+ 
У х-1 
+ T~ i> , 
поэтому Cx" 
= 
x* 
(n = |) . ►
Решить примеры (при решении некоторых из них заменить бесконечно малые функции 
эквивалентными им):
1 5 0 . a) lim 
+ 
6 )lim £ ^ n i . в) Iim ( —™---------!L_)
*-o 
X2 
’ X-.1 xn - 1 
' i - i l l - x ”1 
1 — xn /
(m, n — натуральные числа).
4  а) Разлагая по формуле бинома Ньютона, получаем
Km (1 + т х)п — (1 + п х )т = Ц т (С2т 2 - С ^ п 2)х2 + о(х2) =
1—0 
X2 
х—о 
X2
!• 
( г ' *
2 
г ,2 
2 . о ( х 2) \
2 2 
г<2
2 
ГОп(н — т )
= lull 
С „га - С т п + - 
=
С„П
1 -
Сит п 
-
------ Ц-------
i - о у 
х *
J
 
2
б) 
Полагая x = l + t ( t —>0 при х —*• 1) и пользуясь принципом отбрасывания бесконечно 
малых,, находим
х т
— 1 
,.m (1 +
t)m 
— 1 _
m t
 + о (t) 
m t 
m

§ 7. Предел функции
78
в) Пусть х = 1 4-1. Тогда t —►
0 при ж —* 1. Имеем
lim ( -——---------- — ) = 1 ш У
’*
х — 1
\ 1 — 
Х т
1 — 
Х п /
t—О
( 1
+
* ) " - 1
 
( l + t)m - l
= lim ( 
t—o \
nt -f C i t 2 4- о (t2) 
mt 4- Cmt2 4- о (t2)
= vm (nC2
m - r n C 2
n) t 2 + o ( t 2) 
nC2
m - m C l _ m — n
=
lim
t—o
m nt2 4- о (ta)
151- K(' n
) 2
 + (’+f )’+ ■
 ■'+ ('+ ^ ) 2)'
◄ Используя результаты примера 37, а), получаем 
lim — ( и х 2 + ^^-(1 4-2 4- . .. + (« - 1)^ 4- ~  ( l 2 4- 22 + ... + (n — l) 2)) =
n —*oo 
U \ 
H 
/
1*
l / г 2ax n(?t-l) 
a2
(n - l)n(2n - 1) \ 
2 
a2
=
lim 
-
n x 2 +
--------- Ц - —
+
- Г
• i--------
t - f
---------
) 
= X 2 
+ a x
+ ~ .
n
— 00
 
n \
n
2
n 2 
6
 
/
3
. 
►
1
к о
,. 
I 2 4- 32 4- • • • 4- (2n — l ) 2
1 5 2 - 
22 4- 
42 
4- ....+ (2
h
)2
◄ Имеем
2
\ _ 2«(w 
4
- l)(2 n
4
-
1
)
22 + 42 + ... + (2n)2 = 4 ( l 2 + 2 2 + . .. 4-n ) =
l 2 + 22 + ... 4- (2«)2 = ” (2n + U (4n t i .)
(см. пример 37, а)). Вычитая из второго равенства первое, получаем
Тогда
I
2
+ з
2
+
+ (2« - I
)2
= »(2» + !)(4п 4-1) _ 2я(п 4- 1)(2п 4-1) = w(4w2 - 1)
3 
3 
/ 3
lim
l
2
4
- З
2
4
- — , 
4
- (2n — l
)2
_ Цш 
n(4n2 - 1) 
_ 2 ^
n
—* 0 0
 
2
2
+ 4
2
+ * * 
* 
( 2 n
) 2
n
—* 0 0
 
2
n ( n
 
-|- l ) ( 2 n
- | -
1)
и з . и™ i ; ± 4 ^ ; ’ +
у
n —oo (1 + 4 -|- 7 -f- . . . -j~ (З н — 2
) ) 2 
◄ Имеем (см. пример 3T, 6))
l 3 4- 43 4- 73 4- . .. 4- (3n - 2)3 = (3 • 1 - 2)3 4- (3 • 2 - 2)3 
4
- (3 • 3 - 2)3 
4
- • • • 4- (3n - 2)3 =
= 27 ( l3 4- 23 4- З
3
4- . .. 4- n3) — 54 ( l 2 
4
- 
22
4
- . .. 
4
- n2) + 36 (1 4- 
2
4- . .. 
4
- n) - 8n =
= 27
n(n 4- l)(2n 4-1) 
36 " ( n 4-1)
6
2
— 8n;
(1 4- 4 
4
- 7 4- . . . 4- (3n - 2))2 =
.
Поскольку в числителе и знаменателе высшая степень « равна 4, то предел дроби равен 
отношению коэффициентов при н4, т. е. 3. ►
1 5 4 . lim л/г.
Х—
гХо
◄ Предполагая, что х0 > 0, положим х = хо 4-1. Ясно, что t —» 0 при х —►
хо. Считая 
|t| < Хо, имеем
^ (■ - й) < 
^
^
^
 (•+S) •
откуда lim у/х = Нш д/х0 4- 1 = ?/х^. ►
х—
е
—
>
о
 
v

74
Гл. 1. Введение в анализ
\ J
Ж 
+ y j %  + у / х
1 5 5 .
lim 
____
х — + оо 
у / х  + 1
◄ Разделив числитель и знаменатель на у/х, получим
lim
\Jx
 + 
\fx
 + 
у/х 
V +
—-------------------- = lim
lim
*^в
x—+oo 
V ^ T T
X — + 00 
_1
1 5 6 . lim
*—■
“ 
у/ x
2
— a
2
4 Имеем
у / х
— т/a + у/ж 
— а _
f
у/х — 
у/a 
у/ж — a ^ 
_
V*2 — «2 
a \ V^2 — a2 
Уж2 — a2 /
1. ►
ss lim (-
x-*a \ -
y / x 2
— a2 (y/x +
y / a )
- +
= lim ( — l . / E
I +
^
1
a) 
у/ж + а/
я—a \V * + V® у x + a 
y/x + a)
y/2a
1 5 7 . lim
У9 + 2ж - 5 
•Уж
- 2
◄ Очевидно,
ш V9 + 2 Z - 5  = Um (9 + 2 ж - 2 5 ) ( У ^ + 2 У Т + 4 ) =
2
 ^ У ^ + 2 У £ + 4 = 12 ^
*-«e 
yfx 
— 
2 
x
-.8
 
(ж — 
8)(y/9 + 2ж + 5) 
*—■* y/9 + 2ж + 5 
5
Замечание. При решении примеров 155—157 использованы результаты примера 154.
1 5 8 . lim — L i-£ -- 1 (и — целое число).
х—о 
ж 
’
■4 Положим у/\ + ж — 1 = t. Тогда ж = (1 + t)n — 1. Считая, что |ж| < 1, имеем 1 — |ж| < 
У1 + х < 1 + |ж|, откуда lim у /\ + ж = 1, т. е. * —►
0 при ж —♦ 0. А тогда
х —*0
= lim
t
1
lim y i 3 ~ .iL 1 = iim ------ 1_________________
_
.
x —*0
X
 
0 (1 + * ) n - 1 
М
 
П
Следовательно, y / T + x
= 1 + ^ +
о (ж), ж 
-♦ 0. ►
1 5 9 . Um ^ L O
j
L ^ ...+ 2^ ,
x-7 
y /T + 9 -  2
M 
Имеем при 
ж —> 7
Таким образом, 
lim —
у/х + 2 = 3^
l L
1
ж - 7
9
= 3 (
У т г )
+ о (ж - 7),
-Уж + 20 = 3
f
:
ж - 7 
27
■
= 3
(• + Нг )
I + О (ж --7),
Уж + 9 = 2^
У
ж — 7 
16
= 2 (
+ о (ж
7).
- У ж + 20
г  
3i( l + Т ? ) - 3 ( 1 + Т3г ) +о(ж ~ 7 )
П 2 _
+ 9 - 2
х —*7
2 (! + ! ? ) + • ( ■ - 7 ) - 2
27 '
1 6 0 . lim =
*—о 
\ / l  + 5ж — (1 + ж)

◄ Положим ^1 + 5х = t. Ясно, что t —►
0
, если х —*• 
0
. Тогда х = i ( ( l
4
- t
)5
— 1) и
i ( ( l + t ) 5 - l ) 2 _
5 .

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: