Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
Разделив в (1) на т — то и устремив х к х 0, получим А(х. о) = / ' (хо). Поэтому Уй g R имеем d f ( x 0) = f \ x o ) h . (2) Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала d f ( x о) (при /'( т о ) ф 0) есть главная часть приращения функции / в точке хо, линейная и однородная в то же время относительно приращения h = х — хо. 2 . 2 . Критерий дифференцируемости функции. Для того чтобы функция / являлась дифференцируемой в данной точке х о , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. 2.3. Инвариантность формы первого дифференциала. Если х — независимая переменная, то dx — х — х о (фиксированное приращение). В этом случае имеем d f ( x 0) = f ' ( x 0) dx. (3) Если х = — дифференцируемая функция, то dx = Следовательно, df (v(t o)) = (/(¥>(t0)))'t dt = f'x{‘p{t0))‘p't(to)dt = / '( x 0) dx, t . e. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргу мента. 2.4. Ф ормула малы х приращений. Подставив ( 2 ) в ( 1 ) и отбросив ш(х — х0), получаем формулу малых приращений:, Д /( х 0) « d f ( x о) или /(х ) я / ( х о ) + / '( х 0)(х - Хо), (4) позволяющую при малых значениях х — х 0 приближенно вычислять значения функции / в точках х, близких к точке Хо, где значения функции f и ее производной известны. 128 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2.5. Правила дифференцирования функций. Если скалярные функции и и v дифференцируемы, то: a) d(u ± v) = du ± dv, б) d(uv) = и dv + v du; B) d ^ _ v du- u dv ' v ^ q . r ) d( f ( u) ) = f ' ( u ) d n . Если вектор-функции u и v дифференцируемы, то: a) rf(u ± v) = du ± dv, 6) rf(u, v) = (rfu, v) + (u, d v ) ; в) rf(Au) = и dX + X du (A — скалярная функция). Если и и v — скалярные дифференцируемые функции, то d(u ± iv) = du ± i dv, i2 = —1. Если А, В — дифференцируемые матричные функции, и — дифференцируемая вектор- функция, то: a) d ( A ± B ) = d A ± d B \ 6) d(Au) = (dA)u + Adu-, в) d(AB) = (dA)B + AdB. Дифференцируемы ли функции f , если: жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|