Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
| Л — а-’и
/ i—»0 fl / 1 —*0 Д 2 6 . Пусть А{х) — квадратная матрица, имеющая конечную производную и обратную матрицу А -1 (г). Показать, что (А_ 1 (х))' = — А_ 1 (х)А,(х) А_ 1 (х). ■4 Пользуясь определением (1) из примера 25, сначала устанавливаем, что для произведе-' ния матриц А, В, имеющих конечные производные, справедлива формула (А(х)Я(х))' = А' (х)В(х) + А{ х ) В\х ), на основании которой (А(х)А- 1 (х))' = А'(х)А_ 1 (х) + А (х ) { А ~ \ х ) ) ' . 122 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Отсюда, в силу тождества А ( х ) А ~ ' (■>') = / (единичная матрица), следует А ' ( х ) А ~ 1(х) + Л(х) (Л - 1 (х)) = 0 (нуль-матрица). Наконец, умножив слева обе части этого равенства на А ~ 1(х), приходим к требуемой форму ле. ► 2 7 . Пусть Л (г) — матрица, имеющая конечную производную. Всегда ли справедлива формула (Л "(х))' = п А п~ 1(х)А'(х), п е т (1) ◄ Уже при п = 2 замечаем, что приведенная формула, вообще говоря, не выполняется. В самом деле, (Л2(х ))' = (А(х)А(х))' = Л '(х)Л (х) + А(х)А' (х). Отсюда также видим, что формула (1) будет справедливой, если матрицы А ( х ) и А ' ( х) пе рестановочны. Оказывается, что и в общем случае перестановочность матриц А( х) , А' ( х) является достаточным условием правильности формулы (1). В самом деле, поскольку в си лу (1) (Л ',+1(х ))' = (Л п(х)Л (х))' = (Л ’'(х ))'Л (х ) + Л ” (х)Л '(х) = п А п- \ х ) А \ х ) А { х ) + А п(х)А' (х) = = » Л п -1(х)Л (х)Л '(х) + А п{х)А'(х) = (п + ])Л ” (х)Л '(х), то, в соответствии с методом математической индукции, заключаем, что формула (1) спра ведлива Vn жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|