§У_ = sin У3 + У3 cos у ^

131. у =
§4. Производные и дифференциалы высших порядков
t
I3
, X =
t
t2+l
132. у =
sin 21 
— cos 21
cos 21 
sin2t
x = 2t + cost.
133. у = (sin(j/2 + t2), cos(y2 + t2), t), x = 5t + t s .
134. у =
*3), x -  2t
135. у = (V'(t), Ф{?), ^ (t3)), x = ф(t4).
137
§ 4. Производные и дифференциалы высших 
порядков
4.1. Основные определения.
О п р ед ел ен и е 1. Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда 
производная от производной этой функции называется второй производной функции / и 
обозначается 
Таким образом,
f " ( x ) = (f'(x))'.
О п ред ел ен и е 2. Если дифференцируема (п — 1)-я производная функции f , то ее п —й 
производной называется производная от (п — 1)-й производной функции / и обозначается 
ft"). Итак,
f {n)(x) = ( f n- 1(x))', 
« е м ,
/ (0>(Х) = /(* ).
Число п называется порядком производной.
О п ред елен и е 3. Дифференциалом п - г о порядка функции f называется дифференциал 
от дифференциала (п — 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf ( x ) = d(dn~l f(x)}, 
d ° f ( x ) ^ f ( x ) ,
п € N.
Если х — независимая переменная, то dx = const и d2x = d3x = . . . = dnx = 0. В этом
случае справедлива формула
dnf ( x ) = f n(x)(dx)n.
4.2. Производные n -го порядка от основных элементарных функций.
Справедливы формулы
(aI )(n) = nI ln% , 
о > 0; 
(sin ж)(п) = sin 
;
(cos х)(п) — cos ^х +
;
(xm)(n) = т(т — 1) . .. (m — n + l)* 71
(In x)
(n )_ ( - l Q n - 2 )
4.3. Ф ормула Лейбница.
Если и и ы — n -кратно дифференцируемые функции, то
(u # )(n)
1=0
4.4. Производные п - го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной 
функций.
Если компоненты вектор-функции f : i н (/i(x ), h ( x ) , . .. , fk{x)) n-кратно дифферен­
цируемы, то
f (n)(x) = ( f [ n)(x), й п\ х ) , . . .  , f l n\ x ) )  , ■
= { dnf k(x)). 
Аналогично для комплекснозначной функции / и матричной функции А  имеем формулы:
f ^n\ x ) = u(n^(x) + гх(п^(х); 
dn f ( x) = dnu(x)
 
+ td ne(x);

138
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
. . . а[’ь \ х ) \
( dna u { x ) . . . dnaik(x) \
\ dnau( x) . . . dnaik(x) /
Л (п)( х ) = |
................................. | ; dnA(x)
“n V )
а\к](х ),
Найти 
/" ( х ) , если:
57.
f { x )  = sin(x2) .
◄ По определению 1, п. 4.1, имеем
f ' ( x )  = (sin(x2) ) / = 2xcos(x2); 
f " ( x )  = (f ' ( x ))' = (2x cos(x2))' = 2 cos(x2) — 4x2 sin(x2). ►
58.
f ( x )
= ( x  + *') e ’ x .
4  Поскольку (it(x) + i v(x))1 = u'(x) + iv'(x), то при дифференцировании комплекснознач­
ной функции число i играет роль обыкновенной постоянной, поэтому
(я) = е + i(£ + i)e 
=
ге х;
r t i
1
 
\  
• 
i x
t x
i x  / • 
\ 
^
j (X) = i e
— 
х е
= е (г — х) .
►
5 9 .
f (х) 
=
(sin х2, cos х 2, х-2).
◄ Для нахождения производной от вектор-функции следует продифференцировать ка­
ждую ее компоненту, поэтому имеем
f'(x ) = (2х cos х2, —2 x sin x 2, 2х);
f"(x ) = (2 cos х2 — 4х2 sin х2, —2 sin х2 — 4х2 cos ж2, 2). ►
6 0 . /(* ) =
_
(
t g
X
t i l
X
sh x2 
cli x’2
■4 Для нахождения производной от матричной функции следует продифференцировать ее 
матрицу поэлементно:
______
_____
' 
' 
sin 
х
/'(« ) = ' 
‘
1
c h 2 .-r
COS2 
X
2xchx2 
2xslix2
/ " ( * ) = 2
sh
x  
сЬ 3 лг
chx2 + 2x2 sh x2 sh x2 + 2x2 ch x2
6 1 . f
( x )
= ( ln<^(x), 
m
(
x
) 
■4 Поскольку
:t(x)
f'(x ) = ^(lll
v} 1>
ip(x)
то f'(x)
ll'b — uv' \ гг
«, 
„2
1- Далее,
f"(x) =
f ( - 1
, («')', 
( v'v ~ uv' ) )
=
\ \ v J
V 
) )
6 2 . Найти у' " , если у = f ( e x) .
v(x) J
f '( x ) = ^(In^(x))', u'(x), 
) и
_ u'(x)«(x) — u(x 
y2(x)
■4 По правилу дифференцирования сложной функции имеем
' 
/ 
fl { Я\ X
У = f  (е )е
(в этом примере штрих у / означает производную по аргументу ех ).
Для вычисления второй производной пользуемся определением 1, л. 4.1, указанным выше 
правилом, а также правилом дифференцирования произведения.
В результате получим
~ . Ч
/ J*// ,Т\ 
Х \ !
£ / / / Х \
2
х
. 
£ ! ( Х \
X
У = ( / (е )е ) = / (е )е 
+ / ( е )е .

§4. Производные и дифференциалы высших порядков
139
Аналогично находим третью производную
У =
/
( е ) 
е 
+ 3 /
(е 
)
е 
+ /
(е 
)
е . 
►
6 3 .
Найти 
d2 
у для функции у
= ех , если:
т — независимая переменная; х — промежуточный аргумент (зависимая переменная).
4  
Первый дифференциал обладает свойством инвариантности, поэтому в обоих случаях
dy = d(ex) = ех dx.
Далее, по определению 3, п. 4.1,
А2 у — d(dy) = d(ex dx).
Дифференцируя последнее произведение, получаем
d(ex dx) — d(ex) dx + ex d(dx). 
(1)
Если 
x 
— независимая, то 
dx 
= const = h. Следовательно, 
d{dx) 
=
d2x 
= 
0 и из (1) 
находим
d2у = d(ex) dx = ex dx dx = t x (dx)2.
Если же x — промежуточный аргумент, то dx, вообще говоря, не является постоянной и 
поэтому d(dx) = d2х ф 0. Тогда из (1) получим
d2у = ex(dx)2 + ех d2х = ех ((Фс)2 + d,2ж) . ►
6 4 .
Найти d2y, если у = arctg —, где 
и, 
и — дважды дифференцируемые функции
v
некоторой переменной.
4  Используя инвариантность формы первого дифференциала, имеем
. 
. /
(
и \ ' , ( и \
1 
v d u — u d v
v d u — u d v
,1, =
,1
( « c t g - J = ( . . c . s
— - T T ---------------------------------
+ ( “ ) 2 
v
2 
u 2 + v 2
где штрихом обозначена производная по (()).
Далее, по определению 3, п. 4.1,
,о 
, ( v du — и dv \
d V = d { U2 + V l
j '
откуда, по правилу дифференцирования частного, имеем
,2
_ 
d(v du — 
и 
dv)(u2 + v2) — 
(v 
du — 
и 
dv)(d(u2 + 
V2))
d У -
 
( M2
 + „
2 ) 2
 
'
Поскольку d(v du — и dv) = dv du+v d2u — du dv — u d2v = v d2u — u d2 v , d(u2 + v2) = rf(u2)+ d (n 2) =
2u du + 2v dv, из (1) окончательно находим
2 _ v d 2u — u d 2v 
2(uv((du)2 — (dv)2) + (v2 — и2) dudv)
d 
u2 + v2 
(it2 + v2)2 
^
6 5 . Найти производные y'x , у
''2
, у"?, от функции у = f ( x ) ,  заданной параметрически, 
если X = 21 — t 2, у = i t — t 3
(
1
)
4  Поскольку у’х = £ ( / ( * ) ) = ^
= з£> то
, _ d(3t - t3) 
(3 - 3t2) dt _  3
'Jx ~ d(2t — t2) ~ ( 2 - 2 t ) d t ~ 2
этому
d ( |( 1 + <)) _
'2
dt
(1 + t), 
Хф 1.
tt
// 
( 
t \
^ ( У х )
Далее, 
yx2 -
^ ( s /Д = -
3 7
-, поэтому
Vx* =
d(2t — t2) 
2(1 - t ) d t  
4(1 — t) '
Аналогично 
у"'s
= 
± ( y x
a) =
, поэтому
(C

6 6 . Найти у'х , у"г от функции 
у 
=■ /(ж ), заданной уравнением
ж2 + у2 = 5 ху3.
◄ Пусть у = /(ж ) — дважды дифференцируемое решение данного уравнения. Тогда 
дифференцируя тождество ж2 + (/(ж ))2 = 5ж(/(ж))3 по х, получаем 2ж+2/(ж )/'(ж ) = 5(/(ж))3 +
15
i
/ 5(
i
) / '(
i
), откуда
/<(*) = 1 5 ^ ж ) - 2 ; / ( , ) ’ еСЛИ 15
х
/ 2(
х
) - 2 / (
т
) / 0 .
Далее, по определению второй производной и правилу дифференцирования частного, име­
ем
(2х - 5 / 3(ж))'(15ж/2(ж) - 2f(x)) -  (2ж - 5 f 3(x))(15xf2(x) - 2f ( x ) ) 1 
(15ж/2( ж ) - 2 /(*))*
_ (20/3(ж) - 75ж/4(ж) - 60ж2/(ж) + 4ж)/'(ж) - 4/(ж) + 7 5 /5(ж)
(15ж/2(ж) — 2/(ж))2
Подставляя значение / ' ( ж), окончательно получаем
. 
1500ж/6(ж) - 120ж3 + 150
ж
2/ 3(
ж
) - 250/®(ж)
'  W = --------------- (15 * / ( , ) - 2 ) » Ж » ) ----------------

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: