Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

332
§ 7. Общая схема применения определенного 
интеграла. Задачи из механики и физики
Гл. 4. Определенный интеграл
7.1. Аддитивная функция промеж утка.
Бели всякому сегменту [tv,/9], содержащемуся в фиксированном сегменте [а, 
6
], отвечает 
значение определенной физической или геометрической величины Р([а, /9]), то Р  называют 
функцией промежутка.
О п ред елен и е. Функция Р : [tv, /9] i-v P([tv, /9]), [tv, /9] С [и, b], называется аддитивной, 
если
Vy € 
]tv, 
/9[ => 
P([tv, 
/9]) =
P([tv, 
7
]) + Р([у, /9]).
Теорема. Пусть Р : [tv, /9] 
1
—
> P([tv, /9]), [tv, /9] С [о, Ь], — аддитивная функция, а р : 
[а, 
6
] —►
К, р € С\а, Ь], такая функция, что Р([хо, х]) = р(х — 
Х о )
+ о((х — х0)), х —►
х0, 
Vxo € [о, 
6
]. Тогда справедлива формула
ь
Р([а, 
6
]) =
J
p(x)dx. 
(
1
)
а
7.2. Вычисление статических моментов, моментов инерции, координат центра 
тяж ести плоских кривых и фигур.
Пусть {Mj(xj, У] )} — система материальных точек плоскости хОу с массами т 3, j  =
1
, п. 
Величины
П 
П
= £
»п,у>, 
I* = ^ 2 тзУ2
1>
9 = 1
9 = 1
называются соответственно статическим моментом и моментом инерции этой системы то­
чек относительно оси Ох.
Если на гладкой кривой 
7
= {(х, у) € М
2
: у = /(х ), а 
х ^
6
} равномерно распределе­
на масса с линейной плотностью р = 
1
, то статическими моментами и моментами инерции 
кривой 
7
относительно осей координат называются соответственно величины
М х
+ / '( х ) 2 dx,
I Х
ь
J  / 2 ( * ) \ Я
+ / '( х ) 2 <2х,
4
а координаты ее центра тяжести 
6
'(£, ?/) вычисляются по формулам
,
М у 
М х
* = ~ Г
V = — ’
( 1)
(
2
)
(3)
где J — длина кривой 
7
.
Предположим, что криволинейная трапеция Ф лежит по одну сторону оси Ох и что она 
однородна. Статическими моментами и моментами инерции этой трапеции относительно осей 
Ох и Оу называются соответственно величины
ь 
ь
Мх = s-
g
J
f a(x)dx, 
My = sg u /(x ) 
J
xf (x )d x ,
а координаты ее центра тяжести С(£, »/) вычисляются по формулам
(4)
(5)
(6)

§ 7. Применение определенного интеграла
333
u S t l U
где Р  — площадь трапеции.
Если плоская однородная фигура имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на 
этой оси.
143. 
Определить координаты центра тяжести плоской 
фигуры.
-2 
£
62
Ф
= j o e J/)eR2 :^3- + | 7 ^ l , 0 ^ я ^ а, 0 < у < 6
< Применяя последовательно формулы (4) и (6), получим
а
3
" ' = т
=
G 
а
му =ь J
х \ / 1  — 
dx =
Ьа2 
3
За2
т2
1 ---- 2
аг
об2
аЧ
3 ’
, 
тгаб 
4 а 
, ,
тгаб 
46
^ =
=
ч = м * : — = з7
(поскольку площадь фигуры Ф равна 7га6). ►
1 4 4 . Найти моменты инерции 
1Х
и 
1У
параболического сегмента Ф, ограниченногр 
2ах — х~
графиком функции х t—
r ----------- , 0 ^ х ^ 2а, и отрезком оси Ох,
а
4
Согласно формулам (5), имеем
2 а
2а
1х = ~1
^ / (2“Х ~ 
dx
= 
1у
= / ** ( 2Х " т )
dX
= 5°4' *
145. 
Найти координаты центра тяжести однородного полушара радиуса а.
Ось 
Ог 
является осью симметрии полушара
Т  = {(я, у, z) € 
R3 
: 
Я2 +
у2 + г 2 
^ a2, 
z 
> 0},
поэтому центр тяжести находится на этой оси. Приняв шаровой пояс, нижнее основание ко­
торого находится на расстоянии z от плоскости я Оу и высота которого равна dz, за цилиндр, 
высота которого равна высоте шарового пояса, а основание равно нижнему основанию ша­
рового пояса (кругу радиуса г = у/а2 — г2), вычислим приближенно статический момент dM 
шарового пояса относительно плоскости я Оу, равный тг(а2 — z2)zdz.  Тогда
а
0
Поскольку объем полушара равен |jr a 2, го 
' 1
3 
М _  3 
2-па3 
8 ° ’
Следовательно, С'(£, »/, С) = (о, 0, |а ) . ►
146. 
Определить силу давления воды на вертикальную перегород- 
д 
в
ку в канале, имеющую форму полукруга радиуса а, диаметр которого % 
находится на поверхности воды.
Л Обозначим через /(я) длину горизонтальной прямой, проведенной 
на расстоянии х от А В  (рис. 69). Приняв полоску, содержащуюся меж­
ду горизонтальными прямыми, отстоящими от А В  на расстояниях х и 
x-\-dx, за прямоугольник с основанием /(я) и высотой dx, можем прибли­
женно вычислить давление Р([я, 
я
+ dx]), испытываемое этой полоской, применив правило