Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

§ 4. Комплексные числа
а) По определению сопряженного числа
2
l +
22
= (xi + Х
2
, У
1
+ у2) = (Xl + Х
2
, ~У
1
~ 
02
) = (*
1
> “ 01) + (l2 > ~ V2^ ~
*3’ .
б) Имеем I U
2
= (Х
1
Х
2
— 
0
i
02
, Xi
02
+
*2
yi) — (*
1*2
— 
0102
, —Х
1
У
2
 — Х
2
У
1
) —
(*
1
, ~
0
l)(x
2
, 
-y2) = Z
i-Z
2
. 
" 
I 
Й
 
' й
\ turn
в) Запишем комплексное число 
2
в тригонометрической форме 
2
— (г cos V, rsm о), тогда
z = (rcos(—0), rsin (—0)). Пользуясь формулой Муавра, имеем
(
2
)" = (rn cos(—п
0
), г" sin(—п
0
)) = (rn cos пв, — г" sin пв) = (rn cos «в, г" sin пв) — (
2
”). ►
5 0 . Выполнить указанные операции:
а) (2 - t)(2 + i)2 - (3 - 2») + 7; б) ( 1 + »)4; в) ( ^ Г + | ) •
С 
комплексными числами, записанными 
в 
алгебраической 
форме, операции сложения, 
вычитания и умножения можно производить так ж е, как и с действительными 
биномами. 
При 
этом «пользуемся тем, что г2 — —1, г3 = **•* = —
t4 = t3t =
—i2
= 1 и т. Д.
а) Имеем
(2 — г)(2 + г
)2
— (3 — 2г) + 7 = (2 — г)(2 + г
)2
+ 4 + 2г =
= (2 + г)((2 - г)(2 + ») + 2) = (2 + «)(4 + 1 + 2) = 14 + 7*.
б) Согласно формуле бинома Ньютона,
(1 +
«)4
= 1 + 4» + бi
2
+ 4i
3
+ i
4
= 1 + 4t -
6
- 4t + 1 = - 4 .
») ( — +
2
)  = м + '■
5 1 . Найти частное комплексных чисел:
, 1 
„
1 
s 
5
+ * #
а) —; б) -—
г
; 
в
) •=-----
7
=-.
t 
1
+* 
' i _ f-v£
2 * 2
М Формулу для нахождения частного комплексных чисел 
21
и 
22
запишем в виде
21
_
21
• 
22
_
21
• 
22 
22
22
- 
22
|
22|2
Пользуясь этой формулой, находим
. 1 
1 
1 —» _ ! —« _ !
t
*' » 
|*|2 
*’ 
’
1 + t 
| l + i|2 
2 
2 
2 ’
• 54 \ Д
13S 
60 
Д . 45 . - б х Д
1 
,
-
' * 64 
-
Ъ Г  “ l ~ W  + 64 + * —
- 64 = _ 1 - ►
1 + 
_ (! + » # ) ( l + » f )
1 
Уз
> 
i
, Д ~  
“
'
-
-
r
+ t —
. ►
1 
1
; Д  I
2
* 
2
2
+
’
2
5 2 . Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме:
а) —3; б) —г; в) 
1
+ i; г) — 
1
+ гЧ/З.
◄ Имеем:
а) | — 3| = 3, 
в
= я-, —3 = 3 (cos ir + t sin ir);
б) | - t | = l, 
0
= - j , - г = cos ( - § ) + isin ( - f ) ;
в)
|1 -f t| = л/2, 0 = 7, 1 + * = л/2 
(cos 
7 -f 
tsin 
J ) ;
г) I -
1
+ »>/3| =
2
, 0 =
- 1
+ *V3 =
2
(cos ^ + ism ^L) >
5 3 . Вычислить:
a) (1 -f i\/3 )30; 
6) (V2 - У
2
)20; 
B) ( 1 ^ 4 ) 12
r) 
(
; 
д) (2 + 2*)41; 
e)
◄ а) Представим комплексное число в тригонометрической форме
■
<<• 
i'-** Ti I
. 
'

34
Гл. 1. Введение в анализ
затем, применив формулу Муавра, получим
/, I - /о\зо 
„зо (  
30ir 
. . 30jr\
(1 + t V3) 
= 2 
^cos - у - + « sm - y - j = 
2
-
б) Аналогично предыдущему находим
л
/2
- «V
2
=
2
(cos ( - J ) + «sin ( -
1
) ) ;
(V
2
- ,V
2)20
=
220
(cos ( - ^ ) + isin ( - * £ ) ) = —
2
20.
B) Представляя числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме, вычисляем 
частное
1
~ «
л
/2
(cos ( —j ) + t's in ( —j )) _
(
( r \
1
+» 
V
2
(c o s f +«sin f )
C04
2
У + *Sln C 2 / '
затем, использовав формулу Муавра, находим
( г Н Г = ( “ * Н ) + , “ ( - § ) ) “ = (е“ ( - !т ) + ” “ ( - Ц 1) ) =>•
л/2 (cos f + г sin | )
j ,
«sin 
~ л/б V
1
+«
7«г 
. . 7«г
1C0S_ + t S in__
л/3 —«3 
2%/3 (cos ( — | ) + «sin (— I ) )
у/в 
(
1 + « V
 
1 
(
 
7Тх , , 
7 7 т \
Iv fT T iJ = 6Ve v 
I T + 
7 г ) =
_
1
/
5х 
. 5«г\ 
1 
/ т Д - 1 , - ^ 3 + 1
“ i v ? ( с“ Н + , ” п Ш = « г ,
+ ‘
V S
Д) 
(2 + 2 i) " = (V S )" ^ c o s^ + isin 
=
(VS)" (cos ~
+ i sm 
= 8 a0(2 +
2i). 
,) ( - 3 - . У = 2 ' ( с о , Г | г + , , ) „ Г | 1 ) ^
2
7 ( е„ ( _ 2 | 1 ) + Ы о ( _ » £ ) ) =
. 2 ' ( I + ,ri„ I ) = 2 ' ( f + , l ) = 2 - ( V S + 0 .
5 4 . Найти все значения корней: а) у/\ . g) \ / —
1
— «\/3.
М а) Запишем комплексное число 
1
в тригонометрической форме
1 
= cosO° + «sin 
0
°,
затем по формуле (1), п. 4.2, находим
Л Т — cos 
, • . 2
k ir  
v i — cos —- 
4
. , Sln----
* 
1
к
= 0, 1, 2, 3.
Следовательно,
= cos 
0
° + «sin 
0
° =
1
при 
к
=
0
, v'T = сой § + isin f = « при к = 
1
, 
v'T = cos ж + г sin 
7Г 
= - 1 при 
к
= 2, 
= cos 3
f  + ,s in 3
f = 
- i
при 
к
= 3.
б) Записав комплексное число —1 — г\/з в тригонометрической форме
- 1
находим
Отсюда
- «Ч/З -
2
(cos ( - у ) + «sin ( - у ) ) ,
V - l - i V 3 = # 2 (с
—
2
тг
з~ + 2fc«r ' . 
—---- 1- 
2 k ir
-----(-«sm —— -------
к
=
0
,
1
,
2.
v M
^ = ^
2
( c o s ( - ^ ) + i s i n ( - f ) ) , Jfc =
0
, 
^ - l - « V 3 = ^ 2 ( c o s ( ^ ) + i s i n ( ^ ) ) ,
Jk = l, 
\ / - l - »V3 = ^ 2
(cos (JfS) 
+
isi„ ( i f ) )
, 
к = 2 .

§ 5. Векторные и метрические пространства
85
5 5 .
Решить уравнение 
2
е +
1
= 0.
◄ Имеем 
z
= V —Т. Для вычисления всех значений 
у / — \
применим формулу (1), п. 4.2, ’
*/—г 
-Я- + 2
к к
. . 
-1 Г
+
2ктг
,
Zk = v —
1 = c o s ------ --------- | - t s m ------ ------- , 
к
= 0, 5.
(
т \
. . 
(
т \
у / з
i
я- 
. я- 
V3 . «
Отсюда 
z
0
= c o s ^ - ? j + l s m ^ - ? j = —
zi = cos - + t sm - = — + - ,
V3
7Г , . . 7Г
*2
= cos — -f ism ~ = i,
5л- 
. . 5ir
Z
3
= cos — -f 
i
 sin —  
6 
6
л/3 
»
2
+
2
’
7ir 
. . 7ir 
V3 
* 
г
4
= cos — + tsm -g- =
-
9ir 
. . 9ir
Zb =
cos — -f 
t 
Sill ----- = — ». ►
0
6
Упражнения для самостоятельной работы
38. Доказать, что а) 
21
-
22
=
21
-
22
; б) 
в) P(z) = P (z), где к I-* P ( z ) —
алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.
39. Выполнить указанные операции:
a) (l + «V3)e ; б) ^
в) £ £
(*1 2
+
02
* 0).
40. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел:
* > (!-« ? )>
: 
’ • л-
41. Показать, что множество комплексных чисел, в котором введены операции сложения
и умножения, образует поле.
42. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:
а) ( - 4 + З*)3 *
5
*
; б) (1 + t)8(l - г\/3)- 6 ; в) 1 + cos у + tsin у .
Найти все значения следующих корней:
43. у/1. 44. v '- l + i. 45. у/^64. 46. ^64.
Найти корни уравнений:
47. г
2
+ (5 -
j
'2)
z
+ 5(1 - г) = 0. 48. г
2
+ (1 - i2)z -  »2 = 0.
49. (z + г)п + (г — г)п = 0.
50. Доказать, что модуль комплексного числа является абсолютным значением, т. е. \z\
удовлетворяет условиям: 
. .
1) |z| > 0 Л (|z| = 0 
г = 0); 
2) \ziz2\ = \zi\\z2\ Vz\, Z
2
е £ \
3) jzi -f 
22
1 < |
2
i| + |z2) V
2
l, 
22
€ C.
51. Доказать, что модуль комплексного числа удовлетворяет неравенству
1*11
- Ы |
1*1
-
*2
I•
§ 5. Векторные и метрические пространства
5.1. Векторное пространство.
О п ред елен и е 
1
. Векторным пространством над полем К = {А, р, v, . . . } называется 
множество Е = {х, у, z, . .. }, в котором определены:
I. Внутренняя бинарная операция Е х Е  —> Е : (г, у) !-*■ х + У, относительно которой 
множество Е является абелевой группой:
1) * + {У + *) = (я + У) + г; 
2) х + 9 = х\
3) х -+■ (—х) = 0', 
4) х + у = у + х
. . .
.•:■!•
(здесь 
в  
— нулевой элем ент группы ). 
, 
. •
II.
 
Внешняя бинарная операция 
К х
Е 
—*• 
Е  
: 
(А, х) 
р
—<• 
As, удовлетворяющая следующим 
аксиомам:
5) Х(х + у) = Хх + Ху, 
6
) (X + р)х = Хх + рх;
7) (Ар)х = X(рх); 
8
) 1 • х = х.

, Элементы векторного пространства Е  называют векторами (или точками), а элементы 
поля К — скалярами.
Бели K = R, то 
Е
называется 
д е й с т в и т е л ь н ы м в е к т о р н ы м п р о с т р а н с т в о м ,
а если 
К = С, то 
Е
называется комплексным 
в е к т о р н ы м п р о с т р а н с т в о м .
О п ред елен и е 2. Всякое подмножество V векторного пространства Е, обладающее 
двумя бинарными операциями пространства Е и являющееся векторным пространством 
над полем К , называется векторным подпространством пространства Е.
' В произвольном векторном пространстве выполняются следующие свойства:
1
)А
0
=
0
; 2 ) 0 - х = 
в ;  
3) ( -
1
)х = - х .
5.2. Нормированные векторные пространства.
Понятие абсолютного знамения распространяется на векторные пространства над норми­
рованным полем К.
О п ред елен и е. Нормой в векторном пространстве Е называется отображение
Е  —►
R+ : х и-*- ||х||, 
R+ = { a € R : 0 ^ a < +оо},
удовлетворяющее следующим аксиомам:
,, 1) (11*11 г О)=»(х = 0);
, .2.) J|Ax|| = |A |.||* || V x
6
E;
3) ||х + у|| ^ ||х|| + ||з/|| V х, у 
6
Е  (неравенство треугольника).
5.3. Евклидово пространство.
О п р ед ел ен и е 
1
. Пусть Е  — векторное пространство над полем R. Отображение 
Ё х Е  —►
R : у>(х, у) = {х, у), которое каждым двум элементам х и у из Е ставит в со- 
ответствие действительное число, обозначаемое символом (х, у), называется скалярным 
произведением, если V х, у, z 
6
Е  и V A g R выполняются следующие аксиомы:
1) (*> 
у) =
(». *);
2
) {х + у, z) = {x, z) + (y, Z);
3) (Ах, у) = А(х, у);
4) (х, х )> О Л ((г, х) =
0
) & (х = в).
О п ред елен и е 
2
. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведе­
ние, , называется евклидовым пространством.
5.4. М етрическое пространство.
О п ред елен и е. Множество Е  = { x , y , z , . . . \ называется метрическим простран­
ством, если определено отображение Е х Е —* М"1" : (х, у) >-*• р(х, у), которое для любых х 
и у- ставит в соответствие неотрицательное действительное число р, удовлетворяющее 
следующим аксиомам:’
1) (р(*> 
у)
= 0) =►
(* = 
у)’,
2) р(х, у) = р(у, х) V х, у 
6
Е  (аксиома симметрии);
. 3) р(х, у) ^ р(х, z) + p(z, у) V х, у, z 
6
Е (неравенство треугольника).
Элементы метрического пространства называются точками, а число р(х, у) называется 
расстоянием между точками х н у  или метрикой пространства Е.
Всякая часть F метрического пространства Е, в которой определено отображение F х F —*•'
,„являющееся сужением отображения Е  х Е  —*■
R+ : (х, у) >-*• р(х, у), называется ме- 
трическцм подпространством, а определенная в нем метрика — индуцированной метрикой. 
Метрическое подпространство само является метрическим пространством.
5.5. Окрестности.
О п р е д е л е н и е !. Открытым (замкнутым) шаром с центром в точке хо и радиусом г 
в метрическом пространстве Е называется множество
(х 
6
Е : р(х, х0) < г} 
({х 
6
Е : р(х, х0) $ г}).
Открытый (замкнутый) шар обозначается 5(хо, г) (В(хо, г)).
Аналогично определяется открытый (замкнутый) шар в векторном нормированном про­
странстве.
О п ред елен и е 2. О т к р ы т ы м (зам кн у ты м ) шаром с центром в точке хо и радиусом г 
в векторном нормированном пространстве Е называется множество
•{х € Е : ||х - х0Ц < г] ({х € Е : Цх - х0|( < г}).

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: