0 5 . Доказать, что: a) liin х п +

56
Гл. 1. Введение в анализ
б) ton in • lim у„ ^ ton (*„у„) < lim х„ - ton yn .
. . , fT**5o" 
п—©о 
п-*оо 
n—оо 
n—oo
*" ' * Привести пример, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
4
Докажем случай а) (случай б) доказывается аналогично).
Если *„ = О, п 
6
N, или ton х„ =
0
, то соотношение а) очевидно- Остается рассмотреть
п-^оо
случай, когда ton хп > 0. Тогда х„ > 
0
, начиная с некоторого номера.
У
'
 
.. I 
п-*оо
Пользуясь замечанием в примере 105 и обозначениями
г j-'. i ■- , ,
lim (х„уп) = ton (хг„Уг„), 
ton х т„ -  ton i mr„,
• 
71 — 00
П 
OO 
U — OO 
П —70 0
имеем
lint yr.
n — oo
lim xm„ • lim yT. ^ lim xmr„ • lim ym .
n
—»00
 
П —7 0 0
n — o o
n — o o
Поскольку (im „y m r. ) — подпоследовательность сходящейся последовательности (хГпУг«), 
то
J m _ ( * n ! i n ) = l im ( Г г . у г » ) = И т ( x m r n y m r n ). 
n-»oo 
n—oo 
n—oo
А так как подпоследовательность (xmrn) сходится к отличному от нуля пределу, то подпосле­
довательность (у т Р_ ) также сходится, т. е. lim ym,_ = lim ymr„ • Следовательно,
n —
* OO 
TV
—OO
ton xn • ton y„^ lim xm* • lim ymr_ ~  lim ( t „ . lim.. 
1
= lim (xnyn)-
Н-
фоо
 
n—oo 
n—oo 
n—oo 
n—oo 
n —oo
‘' Таккм образом, левая часть неравенства а) доказана. Если lim уп = 0, то правая часть
П — ОО
неравенства а! очевидна, ибо в таком случае lim уп =
0
, а поэтому lim (хпуп)=0. Пусть
п — ОО 
• П — ОО
lid) Уп > .0. Тогда, согласно доказанному и тому, что lim — =
1 — , получаем неравеи-
* » * » « •
" •
п _ о о
Vn
 
lim
у п
ство
1,1
.■> :
==±L---- lim (хпУп) = lim — • lim (х„Уп) 4  lim ( — (хпуп)1 = lim х п,
l i m
уп 
п — oo 
п — oo 
уп 
п — oo 
п — oo 
\уп 
/
п — оо
из которого следует правая часть неравенства а). '
Приведем пример, когда в данных соотношениях имеют место строгие неравенства. Пусть
Г’Л
-Ц':Ю
1
 
п ( п + 1 )
х„ = 2 + ( - ! ) " , 
у „ = 2 - ( - 1 ) п + - ( - 1 )
2
 
.
Т °к я » ^n*n = 3 +
2
±V i“ ( - 1) 
* 2
*>
1ц »Яи У 1. lim х„ = 3, lim у„ = i
lim уп =
lim (хпуп) = г . ton (х„у„) =
►
п-»о© 
v n-foo 
n—оо 
2
 
n—оо 
2
 
n—oo 
2 
n—oo 
2
? r 1 0 7 a Доказать, что если ton x n существует, то какова бы ии была последовательность
>
‘У
 
п-* оо
(Уп)* получим 
____
____
л и 
г : 
lim 
(in
+ у„) = lim х„ + ton у„.
П-* ОО 
п—оо 
п—оо
- ■М
Имеем (см. пример 105)
lim (г„ + уп) ^ lim хп + lim уп, 
lim (х„ + у„) < ton х„ + lira j„ .
П—ОО 
п—оо 
п—оо 
n—oo 
n—oo 
n—oo
Поскольку ton x n = lim xn = lim xn , то 
в
предыдущих соотношениях возможен только
п—оо 
п—оо 
п—оо
зоддовем ?гва. ►
, 1 0 9 . I Доказать, что если для Некоторой последовательности (хп), какова бы ие была 
последовательность (у„), имеет место по меиыпей мере одно из равенств:
, ,a)tЦ п Г (* „ +
уп) 
= ton хп + ton уп или б) ton (х„у„) = ton х„ lim уп, хп ^ О,
л 
‘ i*-»do 
п^оо 
п—оо 
п—оо 
п—оо 
п—оо
то последовательность (хп) — сходящаяся.

§ 6. Предел последовательности
5?
◄ Пусть условие а) выполнено, 
(у„)
— любая последовательность и yn = —Xp . Tpj^»* 
Щ 
условия а) следует 
’ ' 
' л
 
< ч,
П. 
'< 
. Ki/OKIxOii,
lim 
х„ +
lim ( —х„) = lim 
х п —
lim 
х п
= lim :(xn 
0,0
откуда 
lim 
х„ 
= lim х
„, т. е 
lim хп
существует. При выполнении 
условия б) подаваем
П —►ОО 
П —ь о о
П —► ОО 
_________
, 
'
■ '
...
j/n 
=
—1. Тогда из 
б) 
вытекает, что 
lim (—
х„) =
— lim х п,
или 
lim х п —
 
lim хп И сдоиа
n - ^ O O
П
—*  ОО 
П —*-00 
П - + 0 О  
‘ Ь
убеждаемся в существовании предела последовательности (х п). ►
1 0 9 .
Доказать, что если 
х п
> 0 и
1
,
1
-рМИ
lim хг
1
• lim — = 1,
п - * о о
Х п
то последовательность (х „ ) — сходящаяся.
◄ Из условия примера и того, что lim — = -г------
. хл 
Иго а?ц
П —* ОО
т. е. (х п) — сходящаяся последовательность. ►
1 1 0 . Доказать, что если последовательность (х п) ограничена и г :
lim (x n+i - х„) = 0, 
, , у \
,; ; ,;4.11Х'ЛЗоП
от
, вытекает, 
что lim х п —
 
Кш ац.
n-*oo 
' к;
•
 «ч 
• 
: 'п
 I».'--. 
А
то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно меэзду
и верхним пределами: 
____
” 
' 
4‘ 
•
I =
lim х„ и 
L =
lim *п , 
‘ 
' 
г:\г,чя*ч?*1
П—
ьОО 
п—
»оо
т. е. любое число из отрезка [1, 
L]
является частичным пределом данноЙ ПоследовательЬ
◄ Покажем, что любая точка а, принадлежащая интервалу ]1, 
1\
является частиЧИММ 
пределом последовательности (х п), т. е. покажем, что любая «-окрестность точДи а соДврзНЖТ 
бесконечное число элементов последовательности (х п). 
'.■■■}
:?ril 
-
Пусть 
е
> 0 — такое произвольное фиксированное число, что е-окрестности'<гег4ек 1, в И 
L  
не имеют общих точек. Согласно условию, существует такое число 
N(e),
чтб jtW+i 
?if
при 
n > N ( e ) .
, 
.
 
я 
<■'
Поскольку 
I
— частичный предел, то в «-окрестности точки 
I
найдется элемент 
xpt, с , 
индексом 
р
 
1
большим, чем 
N(e).
По той ж е причине в «-окрестности точки 
L
существует 
элемент 
х Я1
с индексом 
q\

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: