3 3 . Доказать, что  lim

92
Гл. 1. Введение в анализ
Построить график предлагаем читателю. ►
2 3 6 .
Построить кривую 
_________
Um У И П + Ы" = 1-
п - * о о
4  Поскольку ° < 
< 2>если 1*1 < ! . ы ^
1
*
1
+ м
ф
°> т°
|х|" + Ып
П
-.00
У max(|x|n, |у|")
(см. пример 73), и, следовательно,
Um ;У1*1П + Ы П = Um m a x (|x |, |у|) ? / J * L | J " L nV = т ах(]я |, 
\у\)
т а х ( |х |" , \у\п)
т. е. m ax(|x|, |у|) = 1 и графиком служит контур квадрата с вершинами в точках (±1, ±1). 
Это следует из того, что точки А(±1, |у|), |j/| < 1, В(|х|, ±1), |х| < 1, принадлежат графи­
ку. ►
Найти следующие пределы:
2 3 7 .
Um ( ( 1 + х ) ( 1 + х 2) ( 1 + х 4) . .. (1 + х2п)), если | х | < 1.
п-*оо
4  Умножив и разделив выражение, находящееся под знаком предела, на 1 — х, получим 
Um ((1 + х)(1 + х2)(1 + х4) ... (1 + х2")) =
п—
*оо
= Um 0 - * 2)(1 + *2) ( 1 - М 4) - - - ( 1 + * 2п) = ьт l - * 2n+1 = _ 1 _ . *
71 •—
►
ОО 
1 — X 
71—
* ОО 
1 — X 
1 — X
2 3 8 . Um fcos ^ cos у . . . cos 
, х 
ф
 
0
.
«-.ос 
Ч 
2 
4 
2" /
г
4  Умножив и разделив на 2n sin ф^ выражение, предел которого ищем, найдем
Um 
( cos — cos — . . . cos 
) = Um 
n
—. oo 4 
2 
4 
2
n J
П— x
X X
X 
on
cos - cos - . . . cos 
* *
1 JIV-l
2
n sin 
ф^
.. 
sin a: 
.. 
sin 
x
= hm 
— or = hm ------
n —►
oo 
2 Sin 
—
n — oo 
X 
Sin 
-
2 n__ _
2 3 9 .
Пусть 
Um 
= 1, где 
ф(х
) >
0
и 
а тп
=t 
0
, 
т
€ N, при 
п
—*■ оо, т. е. |orm„| < е 
1 — 0
 
ф{х)
при 
т
€ N и 
п
>
N(e).
Доказать, что
Um ( ^ ( «
1
») +
+ • • • + ¥>(“ "»>)) = Um 
{ф{ащ)
 + ^ ( «
2
») + • •. +
Ф(апп)),
 
(1)
П—
*00 
п—
*со
предполагая, что предел в правой части равенства (
1
) существует.
4  
Поскольку 
Um 
=
1
и 
а тп =$ 0, 
то 
Ve > 0 3N  = N(e) 
такое, что 
'in > N
X-+Q *4®/ 
'
1
- е < ^
тп)
<
1
+
е, т = ТГп
,
V(cxmn)
откуда, в силу условия 
ф>(х)
>
0
, имеем
1 
_ £ <
+ У(«Дп) + • • - + У»(«»п) 
< 1 + е _
ф(а
i n ) +
ф(а
2
„ ) +
. • • 
+
ф(ппп)
Исходя из этого неравенства, а также из условия существования предела в правой части 
равенства (
1
), заключаем, что предел числителя существует и равен пределу знаменателя. ► 
Используя равенство (
1
) предыдущего примера, найти следующие пределы:
“кХ
1

§ 7. Предел функции
93
М
Поскольку lim
к
Зт>2
1 (см. пример 158), а ^
0 при п —*■
оо, то
lim 
y 2 ( \ f i + \ - l ) =
lim £ - ^
=
1
lim ! 4 Z l + i ) = I .  
n —* о о
\ V 
Л 2
I 
n - * o o
'
3n2 
6 n — o o
T i 2
6
2 4 1 . lim 
sin
n-ОО 
' 
?И
k = l
• 
ka
sm — 
ka
◄ Здесь lim —
=
1
и ^
0 при 
n
—►
оо, поэтому имеем
П2
n
n
i. 
. 
ka
 
fca 
i. 
an(n
4* 1) 
a
liin > sm —r- = lim > 
—
5
- = lim — V -
3
— - =
►
n
— 00
 
n
— 00
 
' П
2
 
n
— 00
 
2
n.^ 
2
fc=i
n(n + l )
1 ,
^
= 2 h a ' ►
242. 
lim 
N 
f a
 »2 
— 1^ , 
a >
 
1.
n—
*oo ^ ^ \ 
/
fc = l 
4
 
7
к
M Имеем lim 
----- - = 1 (см. пример 197, а)) и 4 =$ О при n —►
оо. Таким образом,
"—o° -о In a 
n
m
Urn У f a ^ - Л = Urn У
^ 1 = 1па Urn
n_oo 
\
j  
rwoo 
n2 
n-*oo 
2n2
*=1 4 
7 
fc=l
243- 
П(1+^)-
fc= l
M Имеем
„ЬоП (2 + й = 
i1 +
 i ) } •
k = 1 
1, 
fe=l 
J
in ( i +
4
) 
fc
Поскольку lim ------
jj
—1-— = 1 и ^  
0 при n —►
оо, 
to
n~*°°
Um П ( 1 + ± ) = . х р ( и т
= 
►
n -o o i-l \ n* / 
|^n-*oo 
2n^ 
J
244. 
lim 
TT 
cos 
^ a_
k = l  
v
◄ Легко убедиться, что
In ( cos -4 = ) 
,2
 
2
V 
"V"/ 
Jra
lim — - , 2 -
3
—- = 1 и ——г- =$ 0
™ 
fc
2
a
2
 
0 . . 3
^
lim
n—
.oo 
_к ~ <1-
2n3
при П —> OO.
Поэтому
lim TT cos 
^a_
 
eXp 
J 
цт
jn 
cos 
1 
_
n —
oo 
■*•■*■ 
n-Jll
I 
n—oo 
n~Jn
I
*= 1 
V 
1. 
*=1 
)
lim V
^ U e x p f - Urn 
+ iK 2" +
1)fl2
1 = , 
n—
»oo 
2n3 
Г 
n—
+co 
2
*
6
’ У
13
 
j
= exp ■
k = 1

94
Гл. 1. Введение в анализ
В примерах 245 и 246 перейти к пределу в показателе степени на основании утвержден 
ния А).
2 4 5 . 
Последовательность 
(х«) 
задана равенствами 
Xi = 
у/а,
 
хг 
= 
у/а
 + 
у/а,
хз = 
у а + \ / а + у/а, . .. , где а > 0. Найти lim хп.
“
тг—
4  Заметим, что х„ = у/а + х п- и  п = 2, 3, . ■.. Применяя метод математической индук­
ции, убеждаемся, что последовательность х п = у/а + xn- i монотонно возрастает и ограничена
сверху, например, числом А > j +
\ J \
А а. Следовательно,
1
П
причем I = у/а + /, откуда находим, что
по известной теореме, имеем
lim хп = 1 ^ 0,
п
— 00
•у/4а~+Т+1 
=
2
2 4 6 . 
Если Wh[/] есть колебание функции / на сегменте |х — £| ^ h, h > 0, то число
wo[/] — lim Wh[/]
h—
*0
называется колебанием функции / е точке (■
Определить колебание функции / в точке х = О, если:
а) /( * ) — sin i ; б) Д х ) = i c o s 2 i ; в) Д х) = х 
(2
+ s i n ; г) Д х ) = i arctg i .
X 
X *
X 
\ 
X /
7Г 
х
■4 Согласно определению колебания функции в точке, имеем: 
a) u h[f] ж в|ф {sin i } - ^
{sin i } = 1 - (- 1 ) * 2,
<*>[/] — Uni Wh[/] — Um 
2
=
2
;
6) wh[/] = siip^ { 
cos2 i } - |
{ £  cos2 l } > i sup 
{ jy cos2 
= *2x2, где k
целые числа такие, что |fc|ff ^
Поэтому
u>h [/] = +
00
, 
wo[/] = +
00
;
в) 0 < u>h[/] = sup {х (2 + sin - ) } — inf { x (2 + sin j ) } ^ 3h — (—3h) — 6h,
Wfc[/] =
0
, 
wo[/] - 0;
r) wh[/] = sup { i arctg i } - inf { i arctg ±} = \ -  (“ j ) = 1;
l*K*
|x|«»[/] = lim u>h[f] — Una 1 = 1. ►
л
—0
2 4 7 . 
Определить l 
= lim 
f (x) и L =
l i m / W i если 
*-.o 
*—°
/(x ) = sin2 — V — arctg —.
' v 1 
x 
7Г 
Я
◄ Поскольку inf {sin2 
= 0 при x = xn = — 
n € N, a
lim — arctg — = inf f — arctg —1 = —1,
n - о о Т Г
6
x „
U
i = Um (sin2 - + - arctg 
= Um (sin2 nir + \  arctg (-n ff)) = -1 . 
^
7
V 
x
ir 
x /
n
- 0 0
V 
x
/
TO

Аналогично, поскольку sup {sin2 £} = 1 при х = х п = tr^ 22n) , п € N , a lim ^arctg 
=
'sup 
{ |
arctg 
} = 1, 
to

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: