Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл
жүктеу/скачать 16,21 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2 2 5 . a) lim — -—p; 6 ) lim ------- p. *---- о . i +o
- 2 2 6 . lim sin(ff \ / n 2 + 1 ). 88
- = яп(тг(-\/n 2 + 1 — п + п )), получим lim s in (ir \/n 2 +
- ) ” sin ( r(\/n 2 + 1 — n)) = lim ( —l ) ” sin . = S =
- 2 2 7 . lim sin 2 ( 7 r \ / 7 t 2 +
- = lim sin 2 ( тг(-\/ 7 t 2 + n — n ) ) = lim sin
- 2 2 9 . Пусть для всех х 6 ]хо, х0 + 1], где ®о
- + Pnjv+i|«jv+i(®) — J| + ••• + Л т ( х )|и „ (х ) — 1 | + + |(Pnj\r+i(®) + . . . + -Pnn(x)) e Vn > »o. Следовательно, lim
- R ограничена в каждом ко нечном интервале ]а, Ь[, то a) lim
- § 7. Предел функции П
|
x x— *o ax 2 2 3 . lim arctg a* , о Ф 0 . *—о x M Из того, что lim arctg x = 0 , следует, что f. arctg ax .. arctg ax lim ----- -— = lim — -— s ------- . a = a. ► x-+о x *—o tg (arctg ax) 2 2 4 . lim axct&(x + h) - a r c t g s л—о A ■4 Поскольку lim ( arctg (® + A) — arctg x) = 0, t o h—.0 j.^ arctg (® + A) — arctg x _ ^ tg (arctg (® + A) — arctg ®) _ j.m ® + A — ® _ 1 h—o Л л—о A h->o A(1 +® 2 +A®) 1 + ® 3 " ’ 2 2 5 . a) lim — -—p; 6 ) lim ------- p. *---- о . i ' +o 1 + ex ◄ а) Если x —► —0* то 1 + e* l 1. —oo , a e* —► 0, поэтому lim — I — O 1+e* б) Если же x —► +0, то - — + +oo и — —* 0, т. е. искомый предел равен 0. ► * 1+е* 2 2 6 . lim sin(ff \ / n 2 + 1 ). 88 Гя. 1. Введение в анализ = 0 . ► -4 Записав последовательность уп — sin (ir\/n 2 + 1) в виде уп = яп(тг(-\/n 2 + 1 — п + п )), получим lim s in (ir \/n 2 + 1 ) = liin sin ( {ics/ii 2 + 1 — тгп) + irn ) = n —*■ oo n —*-oo V / = lim ( — 1 ) ” sin ( ? r(\/n 2 + 1 — n)') = lim ( —l ) ” sin . = S =----- n —.00 \ / n —.0 0 V n 2 + 1 + П 2 2 7 . lim sin 2 ( 7 r \ / 7 t 2 + n). n— .OO ◄ Аналогично примеру 226 имеем lim sin 2 ( : r \ / n 2 + n) = lim sin 2 f (т г\/n 2 + n — шг) + птг) = n —*oo n —<-co \ / = lim sin 2 ( тг(-\/ 7 t 2 + n — n ) ) = lim sin n —►oo \ / гг —► oo = l. ► V/ i + I + 1 2 2 8 . Если lim = А и lim ф(х) = В, то следует ли отсюда, что lim ф((р(х)) = В1 х —►« ж—► А х —►л 1 р Рассмотреть пример: уз (ж) = — при х — где р и я — взаимно простые числа и у(х) = 0 9 9 при х иррациональном; $(х) = 1 при х ф 0 и ф(х) = 0 при х = 0, причем х —► 0. ◄ Из условия примера следует, что для произвольного € > 0 существует такое а = <г(е) > 0, что \ ф { и ) - В \ < е , (1) как только 0 < |и — А\ < а, (2) т. е. неравенство (1) выполняется для всех значений и из я-окрестности точки А, исключая саму точку А. Далее, согласно условию задачи, для произвольного а > 0, в том числе и для а из нера венства (2), существует такое £i((r(e)) = Ь (е) > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < \х — а| < 6 (г), (3) функция и = <р(х) удовлетворяет неравенству |<р(х) - А\ < (г, (4) причем, не исключается случай, когда ip(x) — А. Но при и = <р(х) = А функция ф(и) = ф(<р(х)) может быть вовсе не определена или же определена, но ее значение ф(А) ф lim ф(и). В обоих случаях неравенство (3) не обеспечи- и - * А вает выполнение неравенства (1). Для того чтобы из условий lim <р{х) = A, lim ф(х) = В х - * а х -+ А вытекало равенство lim ф(<р(х)) = В , достаточно, чтобы <р(х) ф А при х ф а. В предложен- х —* а ном примере это условие не выполняется. ► 2 2 9 . Пусть для всех х 6 ]хо, х0 + 1], где ®о — фиксировано, выполнены условия: П 1) Рпк(х) > 0, к = 1, н; 2) ^ P nfc(x) = 1; fc = l 3) lim Рпк(х) = 0 при каждом фиксированном к; 4) lim u„(x) = /. n —*00 гг—*оо п Доказать, что lim t„ = 1, где t n = P„k(x)tik(x). n - + o o « ^ *=1 ◄ Пусть e > 0 — произвольное. Из условия 4) следует существование такого числа N = N(e, х) > 0, что |ш„(х) — /| < | для всех п > N . Из этого же условия следует существование такого числа М > 0, что |в,г(®)| ^ М, |м„(х) — 1| ^ 2М Vn 6 N. Из условия 3) вытекает существование такого числа по — no(e, х) > N , что Р п к(х) < 4 M N ’ к = 1 , N , Vn > по. Из этих неравенств и условий 1), 2) следует неравенство 17. Предел функции 89 \tn — /| — ^ 2 Рпк(х )ик(х ) ~ 1 V . рпк{х) к=1 < ^.Pnifc(®)|u*(x) - /| = = P„i(®)|ui(®) - /| + -Р„2(х)|и2(х) - Ц + ■ • • + Л,лг(х)|илг(х) - /| + + Pnjv+i|«jv+i(®) — J| + ••• + Л т ( х )|и „ (х ) — 1 | < + + |(Pnj\r+i(®) + . . . + -Pnn(x)) < | + | = e Vn > »o. Следовательно, lim t„ = l. ► 71 — * OO 2 3 0 . Доказать теоремы Коши: если функция f : ]а, +оо[— ► R ограничена в каждом ко нечном интервале ]а, Ь[, то a) lim ~ г = Цт (Л* + 1 ) - /(* )); б) и® (/(*))* = f - xff+ y » Л * ) > с > О, з?-* + о о 3? я :-* + оо а?—* + о о гг -* + о о J\%) предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют. в) Доказать, что если lim ( f ( x + 1) — / ( z ) ) = + оо и f ограничена снизу на каждом X —>+00 конечном интервале ]а, 6 [, то Ит М = +00. х —* + о о X ◄ а) Для доказательства воспользуемся примером 229, полагая при этом, что Рп i ( z ) = — ;— , Pnk(x) = — ■ — , k = 2 , n, 0 < хо < х ^ х 0 + 1 , Хо > а, X + П X + п f( щ ^ 1 ^ Ul (*) = ~х + 1 ’ Un(a:) = 'Л* + ") _ Л* + ” _ *)> « = 2, 3, .... гг Тогда t„ = Pnk{x)uk(x) = I. Все условия теоремы выполнены, поэтому к=1 liin t n = lim Л ж + п) _ ц1П _|_ п \ _ п _ _ j n —*-оо n — оо X ~г 11 п —>-оо Поскольку I не зависит от х, то из последнего равенства следует, что ^ ~ Г = (Л * + 1) - Л * ) ) = ^- X —► + оо X ж—*-+оо б) Поскольку f ( x) ^ с > 0, то определена функция F(x) — In f ( x) . Пусть lim = I. x+юо Тогда, пользуясь теоремой пункта а) и возможностью предельного перехода в показателе степени, получаем требуемое lim (f {x))x = lim exp / 12-Л^) 1 _ exp / jjm !ll/ ( xJ \ _ c— + oo Л - . + 00 ( X J ^ x —►Ц" оо X J ?( = exp { lim (In f ( x + 1) - In /(®)) 1 = lim = I. —+00 J x— » + oo J^JCj в) Д ля произвольного E > 0 существует такое число х0 > 0, что при х > хо f ( x + 1) - f ( x) > 2Е. Отсюда следует, что /(* + n) - f ( x) > 2пЕ и / ( z + п) f ( x ) + 2n Е X + п X + п Поскольку f ( x ) ^ с > 0 при хо < х sj ®о + 1, то существует такое число «о, что при Vn > «о, т. е. если t = х + п, ®о < * ^ ®о + 1, п > по, то t > Е ' что эквивалентно требуемому утверждению. ► 2 3 1 . Найти пределы: a) lim (Ins:)*; б) lim ( —^ . + о о ' I - . + 00 \ х ) М а) Воспользуемся результатом примера 230, б), находим 90 Гл. 1. Введение в анализ *“♦+00 б) Аналогично а) получаем ln z + ln (l + - ) / , - — -------- 5 ---------— = lim I 1 + , * —► +00 Ш Х x —+ + o o Ш Х * —* + о о \ Ш Х lim (In*)* = lim —~ — — = lim 1“ (1 + j ) ’ = 1. — 1 lim f —'l 1 = lim = 1 . c—»-+oo \X/ X—b+OO — 2 3 2 . Доказать, что если: 1) функция / определена в области х > а; 2 ) ограничена в каждой области а < х < Ь\ 3) существует предел и » f l l - t i b / M х —.+ о о Х т конечный или бесконечный, то lim /(* ) I х - > + о о Х п cm+! т + 1' ■4 Пусть I — конечное. Тогда из условия следует, что l i m Я * + " ) ~ f ( x + » ~ 1 ) = 1 П-. 0 О (х + » )т +! —(* + » — l ) " ^ 1 т + 1 Воспользуемся примером 229, полагая Р , х ) - (^ + 1Г +1 р ,х , {х + к ) " + * - { х + к - ! ) ”« ' ^ Х > ~ ( Х + n ) m + l - ( * + » ) т + 1 к = 2, п, 0 < Го < х ^ *о + 1, хо > а, и . ( х ) - Я « + 1) „ Я « + " ) - Я « + » - 1 ) п — 2 3 получим tn = ■ Все условия примера 229 выполняются, поэтому .• . .• /( * + ») ,• , , I lim t„ = lim = 11111 *»(*) = --- ГТ’ n —►oo « —>-oo ( x 4 “ f l j ^ n —*oo 771 + 1 а поскольку предел —* •- не зависит от х, то последнее равенство эквивалентно тому, что г Я*) 1 t-I+re Пусть 1 = +оо. Тогда из условия 3) следует, что lim (» + п)т + 1 - ( » + п - 1 Г + 1 «—оо / ( х + п) — / ( х + П — 1) 1 а поскольку последовательность f ^ + n r - ^ + n - i r 1) ^ , монотонно возрастая, стрем ится к + о о , то таким свойством обладает и последовательность (/(* + * * ) - Я * + » - l ) ) ~= i - § 7. Предел функции П Положив A l ( , ) = £ i ± 2 i , л . (, ) - / ( , + *>Г{.(Д - А /(x + n) f ( x + n) к = 2, п, 0 < хо < х ^ хо + 1, хо > а, « i ( * ) = i - ? 7 — f r r r - , M n(g) = -■ 7 7 - ,— 7 — 7 7 — ;------- Тч— . « = 2 , 3 , . . . Д х + 1) Д х + п) - / ( х + п - 1) и воспользовавшись примером 229, получим (х + n)m+1 t n = } Pnfc(x) ик(х) - — f— ----- ► 0 при п -* оо, Г {® + п ) к= 1 откуда и следует требуемое утверждение. ► жүктеу/скачать 16,21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|