Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл

120
Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
◄ Известно, что функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, обязатель­
но непрерывна в ней. Следовательно, в точке разрыва конечной производной функция иметь 
не может.
Что же касается бесконечной производной, то, как показывают примеры, ответ положи­
телен.
Действительно, взяв /(ж ) = sgn 
х 
при 
х =
 
0
, имеем
/ - (
0
) = lini 
— = — lim т- = +оо, 
/ + (
0
) = lim — I* ^ = liin у = +оо. ►
/
1— - 0
 
п
 
Й
— - 0
ft 
т 
Й
-.+ 0
 
л 
й—+о Л
2 1 .
Можно 
ли 
утверждать, что сумма 
F(х) = f ( x ) + д(х) 
не имеет производной в точке 
х =
жо, 
если: 
а) функция 
/
имеет производную в точке ж о , а функция 
д 
не имеет производной 
в точке £о; б) обе функции / и 
д 
не имеют производной в точке ж0?
■4
а) Исходя из определения 3, п. 1.1, имеем
F' {xо) = lim 
= lim ( Щ
е
А  + M i l l ) . 
(!)
й—О 
ft 
h—0 \
ft 
ft 
J
У '
Пусть производная функции / в точке 
хо
существует, а производная функции 
д 
не су­
ществует. Тогда 
lim 
= /'( х о ) , 
lim 
не существует. Следовательно, предел в (
1
),
как легко установить от противного, не существует, т. е. производная 
F ' ( x
о) не существует.
б) В некоторых случаях производная 
F' ( x
о) может существовать 
несмотря 
на 
то, что 
обе 
функции / и 
д 
ее не имеют. Например, если 
F(x) = ф(х)
+ (<р(ж) — 
ф(х)),
где <р имеет 
Производную 
в точке жо, а 
ф
не имеет. ►
2 2
. Можно ли утверждать, что произведение 
F( x)
=
/ ( х )
д(х) 
не имеет производной в 
точке 
х 
= хо, если: а) функция 
/
имеет производную в точке хо, а функция 
д 
не имеет; 
б) обе функции / и 
д 
не имеют производной в точке хо ?
■4
а) Вообще говоря, нет. По определению 3, п. 
1
.
1
, имеем
F'(xo) = lim 
+ /(т о +
’
(1)
Анализируя (1), приходим, в частности, к такому выводу. Если функция д определена при
|х — 
Х о
t < 5 (<5 > 0), / ( Хо) = 0,
Аа(*о)
h
^ М  (
М 
= const), то 
F'(xo) 
существует. Например,
если 
f ( x )  =
х, д(х) 
= 
|ж|, ж0 
=
0, то F '(0 ) = 0.
б) Если пределы lim ■
АА*0! и Цш л з(^а) не существуют, но выполняются, например, усло- 
Й-.0 " 
й—.0 п
вия
д{х о) = 0, 
/(т о ) = О,
Ag(xo)
ft
К М ,
функции f u g  непрерывны в точке х = хо,
то предел (1) существует. Это видно на примере функций / : х 
|х |, д : х н-> |ж|. Обе функции 
не имеют производных в точке х — 0, однако их произведение / ( х ) д(х) ~  ж2, очевидно, имеет 
производную, равную нулю. ►
2 3 . 
Пусть 
/ : £
С R 
-* 
R, где множество Е  имеет предельную точку 
х о
<= 
Е.  Конечный 
предел
Ь . Щ
- { (w ) - Л < » )
(
1
)
х - Хо
назовем производной функции / в точке хо по множеству Е.
Найти производную по множеству 
Е 
в точке хо для функции / , если:
на 
Е = I
а) / ( х ) = 1 на £ = | х |х = 0, х = 1, i , 1 , 
б) / ( х ) = | * ’ 
*
◄ а) Множество 
Е  
имеет единственную предельную точку хо = 0. Используя формулу 
(1), получаем
/Ё (хо) = lim - — - = 0.
х
—.0 
( * € £ )
х

i 
1. Производная явной функции
121
б) Любая точка из множества К является предельной для множества Q. Согласно (
1
), 
рассматриваем только те предельные точки, которые принадлежат Q. Пусть хо £ (Q). Тогда
xt ( \ 
/ ( « ) “ / ( *о) 
х2 -х% 
п
Тв(хо) = bin -------------- - = lim --------- =
2
хо. ►
X — Хо 
*->®о х — Хо
(х€<Ф) 
(a?
6
Q)
2 4 .
Пусть a, b : R —*■
Е п , а = (ai(x), аг(х), ... , ап(х)), b = (
6
i(x), 
62
(
1
), . .. , Ьп(х)), 
х £ ]с, d[. Компоненты а, , Ь, имеют конечные производные на ]с, d[. Показать, что скалярное 
произведение (а, Ь) также имеет производную и ее можно найти по формуле
(а, Ь)' = ( а , Ь) + (а, Ь').
◄ По определению 3, п, 1.1, имеем
(a, b )' = liin i( ( a ( x 0 + ft), b(x
0
+ ft)) - (a(x0), b(x0))) =
= lim - ((a(xo + ft) - a(xo), b(x
0
+ ft)) + (a(xo), b(x
0
+ ft) - b(xo))) =
h 
—‘0
fl
= lim 
>
4 *0
+
+ ^ a (*o), —
= (a'(xo), b(xo)) + (a(xo), b '(x0)) .
При установлении этого результата мы воспользовались следующими утверждениями:
а) Производные а ' и Ь' существуют, поскольку, по условию, существуют производные от 
их компонент.
б) Скалярное произведение обладает свойством непрерывности, поэтому можно совершить 
предельный переход под знаком скалярного произведения.
в) Скалярное произведение обладает однородностью, поэтому множитель ft
-1
можно вне­
сти под знак скалярного произведения.
г) Вектор-функция у непрерывна в точке Хо. ►
2 5 .
Пусть f :]а, 
6
[—►
Е, где Е — евклидово пространство. Примем, по определению, в 
качестве производной функции f в точке хо € ]а, 
6
[ предел
f'(xo) = lim - ! - ( f ( x o + А х ) - f ( x 0)). 
Дщ—
t
-0
Ах
(
1
)
Показать, что если А(х), у( х)  — соответственно функциональная матрица и вектор-функция, 
имеющие конечные производные на ]и, Ь[, то производная А(ж) у(х) вычисляется по формуле
(А (х)у(х))' = А'(х)у(ж) +А(ж)у'(ж).
◄ Используя определение (1), имеем
(А(х)у(ж))'| 
= lim 
i
(А(х
0
+ Л)у(хо + Л) - А(х
0
)у(хо)) , 
х0 € ]а, 
6
[. 
(2)
1л—
h —*0 fl
Поскольку существуют производные А'(хо), у'(хо), то существуют пределы Urn ЛА^ ) . =
А '(х0), lim
Ау(з-о) _ 1
= y '(s o), и из (
2
) предельным переходом находим
(А(ж)у(х))'] _
= lim 
у(а
;0
+ h) + lim А(х0) - У~
- = А' (х0) у (х 0) + А(х
0
)у '(х 0). ►
1

жүктеу/скачать 16,21 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: