ABC - тік бұрышты үшбұрыш болсын және оның С бұрышы тік де, ал А төбесіндегі сүйір бүрышы - ға тең болсын (29, a -сурет).
бұрышыныц косинусы деп (белгіленуі cos) іргелес жатқан AC катетінің гипотенуза АВ - ға қатынасын айтады:
Бұрыштың косинусы оның тек градустық өлшеуішіне ғана тәуелді болып, ол үшбұрыштың өлшемдері мен орналасу жағдайына тәуелді болмайды, яғни сүйір бұрыштары бірдей екі тік үшбұрышта сол бұрыштардың косунустары тең болады. Оны біз дәлелдеп келтіреміз.
Теорема 30. Бұрыштьң косинусы тек оның градустың өлшеуішіне ғана тәуелді болады.
Дәлелдеу. ABC, A1B1C1екі тік бұрышты үшбұрыш және олардың сәйкес А және А1төбелеріндегі бұрыштары тең -
Болсын (29 - сурет). Дәлелдейтініміз: A1B1сәулесінің бойына
АВ - ға тең А1Вг , ал A1C1сәулесінің бойына AC - ға тең А1С2кесінділерін саламыз. Сонда 1-ші белгі бойынша A1B2C2 = ABC. Демек, А1СгBгбұрышы да тік бұрыш. Олай болса, бір (А1С1) - түзуге перпендикуляр болып тұрған ВгСгмен В1С1 түзулері өзара параллель. Онда Фалестің жалпыланған теоремасы бойынша теңдігін аламыз. Ал салуымыз бойынша |А1Сг|=|АС|,
| A1B2|=| AB| екенш ескерсек .
Енді біз геометрияның негізгі теоремаларының бірі болып есептелетін
Пифагор теоремасын дәлелдеуге кірісеміз. Ол теорема тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеттерінің арасындағы тамаша қатысты тағайындайды. Аталуы ежелгі грек ойшылы Пифагордың есімімен байланысты.
Теорема. Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасының квадраты катеттерініц квадраттарының қосындысына тец. Дәлелдеу. Берілген ABC үшбұрышының
тік бұрышы С болсын. Үшбүрышты
гипотенузасына «жатқызып» С төбесінен CD биіктігін жүргізелік (30 - сурет).
ACD және ABC үшбұрыштарынан бұрыш
косинусының анықтамасы бойынша
.
Бұдан |AB|*|BD| = |АC|2. Осылайша BCD, ВСА үшбұрыштарынан
Соңғыдан |AB|*|BD| = |BC|2.
Шыққан теңдіктерді мүшелеп қосып және |AD|+|BD|=|AB| екенін ескерсек, онда
|AC|2+|BC|2=|AB|*(|AD|+|BD|)=|AB|*|AB|=|AB|2 болып шығады. Сонымен,
|АВ|2=|АС|2+|ВС|2. Соңғы формуладан, тік бұрышты
үшбұрыштың әрбір катеті гипотенузадан
кіші екенін байқаймыз. Демек,
кез - келген а сүйір бұрыш үшін Cosa < l.
