Біз үшбұрыштың қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлар бір нүктеде қиылысатынын және үшбұрыш биссектрисаларының да бір нүктеде қиылысады. Осындай қасиетке үшбұрыштың медианалары да, биіктіктері де ие болады екен.
Медианалардың қасиетін үшбұрыштың орта сызығының қасиетіне және Фалес теоремасына сүйеніп дәлелделік.
Теорема . Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысада және төбелерінен санағанда бұл нүктеде 2:1 қатынасындай болып бөлінеді(28, a - сурет).
Дәлелдеу. ABC үшбұрышын қарастыралық (28, ә - сурет). О -деп оның АА1және BB1медианаларының қиылысу нүктесін, ал С1 -деп АВ қабырғасының ортасын белгілелік.
Ортақ АА1 - қабырғалы АСА1 , ABA1үшбұрыштарының B1B2, С1С2орта сызықтарын жүргізелік. Сонда ВС қабырғасы тең төрт бөлікке, ал BB1медианасы тең үш бөлікке белінеді (ұшбұрыштың орта сызығының қасиеті және Фалес теоремасы бойынша). Демек, |ОВ|=2|ОВІ|. Бұдан |BO|:|OB1|=2:1. Осы 2діспен АА1медианасы да О қиылысу нүктесінде төбеден санағанда 2:1 қатынаста бөлінетінін көрсетеміз. Дәл осылайша, ВВ1және СС1медианаларының қиьшысу нүктесі, олардың әрқайсысын төбесінен санағанда 2:1 қатынасынды бөледі, демек, О нүктесімен дәл келеді. Сонымен ABC үшбұрышының үш медианасы да О нүктесінде қиылысып, төбесінен санағанда 2:1 қатынасында бөлінеді.
Биіктіктердің қасиетін кесіндіге орта перпендикулярлардың
қасиеттеріне сүйеніп дәлелдейміз.
Теорема. Үшбұрыштың биіктіктері (не олардың созындылары) бір нүктеде қиылысады (28-сурет).
Дәлелдеу. Кез-келген ABC үшбұрышын алып, оның биіктіктері жататын АА1 , BB1және CC1түзулердің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдейік (28,ә - сурет). ABC үшбұрышының әр төбесі арқылы қарама-қарсы қабырғасына параллель түзулер жүргізейік. Сонда А2В2С2үбұрышын аламыз. Ал АВА2С және АВСВ2төртбұрыштары -параллелограмдар.
Сондықтан |АВ|=|А2С| және |АB|=|СB2|, бұдан |А2С|=|СВ2|. Осы сияқты |С2А|=|АВ2| және |С2В|=|ВА2|. Оған қоса, салудан көрініп тұрғандай
СС1А2В2, АА1В2С2және BB1A2C2. Осылайша, АА1 , ВВ1және СС1түзулері А2В2С2үшбұрышының қабырғаларына жүргізілген орта перпендикуляр болып табылады. Демек, олар бір нүктеде қиылысады.
Сонымен, әрбір үшбұрышпен төрт нүкте байланысты: медианалардың қиылысу нүктесі, биссектрисаларының қиылысу нүктесі, қабырғаларына жүргізілген орта перпендикулярлардың қиылысу нүктесі және биіктіктерінің (не олардың созындыларының) қиылысу нүктесі. Осы төрт нүкте үшбұрыштың тамаша нүктелері деп аталады.
