180° -қа тең. Дәлелдеу. ABC берілген үшбұрыш болсын. В төбесі арқылы AC түзуіне параллель түзу жүргіземіз. А және D нүктелері ВС түзуінің әр жағында жататындай етіп D нүктесін белгілейміз (18-сурет).
DBC және АСВ бұрыштары - ішкі айқыш бұрыштар. Сондықтан олар тең. Олай болса, үшбұрыштың В және С төбелеріндегі бұрыштарының қосындысы ABD бұрышына тең.
Сонда үшбұрыштың барлық үш бұрышының қосындысы ABD және ВАС бұрыштарының қосындысына тең. Ал бұлар AC және BD параллель түзулері мен АВ қиюшысы жасайтын ішкі тұстас бұрыштар, сондықтан бұлардың қосындысы 180°-қа тең. Теорема дәлелденді.
8-теоремадан мынадай салдар шығады: кез келген үшбұрыштың ең кемінде екі бұрышы сүйір болады. Шынында да, үшбүрыштың тек қана бір бұрышы сүйір немесе оның сүйір бұрышы мүлдем жоқ деп ұйғарсақ, сонда бұл үшбұрыштың әрбіреуі 900-таи кем емес екі бұрышы бар болады. Осы екі бұрыштың қоеындысы-ақ 180и-тан кем емес болады. Ал, бұл мүмкін емес, өйткені үшбұрыштың барлық бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең. Дәлелдеу керегі де осы еді.
Үшбұрыштың сыртқы бұрыштары Үшбұрыштың берілген төбесіндегі сыртқы бұрышы деп осы төбедегі үшбұрыштың бұрышымен сыбайлас бұрышты атайды (19-сурет).
Берілген төбедегі үшбұрыштың бұрышын осы төбедегі оның сыртқы бұрышымен шатастырмас үшін оны кейде ішкі бұрыш деп атайды.
Теоремa 9. Үшбүрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең болады.
Дәлелдеу. ABC - берілген үшбұрыш болсын (20-сурет). Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема бойынша
A+B+C = 180°.
Бұдан
A +B= 180° - C. Бұл теңдіктің оң жақ бөлігінде үшбұрыштың С төбесіндегі сыртқы бұрыштың градустық өлшемі тұр. Теорема дәлелденді. 9-теоремадан мынадай салдар шығады: үшбұрыштың сыртқы бұрышы онымен сыбайлас емес кез келген ішкі бұрыштан үлкен болады.
