Тік бұрышты үшбұрыш
Егер үшбұрыштың тік бұрышы бар болса, ол тік бұрышты үшбұрыш деп аталады.
Үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°-қа тең болғандықтан, тік бұрышты үшбұрышта тек қана бір тік бұрыш бар болады. Тік бұрышты үшбұрыштың қалған екі бұрышы сүйір болады. Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бұрыштарының қосындысы 90°-қа тең болады (180 - 90 = 90 ).
Тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышына қарсы жатқан қабырғасы гипотенуза деп, қалған екі қабырғасы катеттер деп аталады (22-сурет).
Тік бұрышты үшбұрыштардың гипотенузасы мен катеті бойынша теңдік белгісін келтіреміз:
Егер бір тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасы мен катеті сәйкесінше екінші үшбұрыштың гипотенузасы мен катетіне тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады (23-сурет).
Үшбұрыштың орта сызығы
Үшбұрыштың орта сызығы деп оның екі қабырғасының орталарын қосатын кесіндіні атайды.
Теорема 10. Үшбұрыштың берілген екі қабырғасының орталарын қосатын орта сызығы оның үшінші қабырғасына параллель және оның жартысына тең болады.
Дәлелдеу. DE - ABC үшбұрышының орта сызығы болсын (24-сурет).
D нүктесі арқылы АВ-ге параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу Фалес теоремасы бойынша AC кесіндісінің ортасынан өтеді, яғни DE орта сызығын қамтиды. Ендеше, DE орта сызығы АВ қабырғасына параллель.
Енді DF орта сызығын жүргіземіз. Ол AC қабыргасына параллель. AEDF төртбұрышы - параллелограмм. Параллелограмның қасиеті бойынша ED=AF, ал Фалес теоремасы бойынша AF = FB. Сондықтан ED= АВ.
Теорема дәлелденді.
Үш элементі бойынша үшбұрыш салу
Үшбұрыштар теңдігінің белгілеріне сүйеніп, циркуль мен сызғыштың көмегі арқылы төмендегідей салу есептерін орындауға болады.
Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
Есеп. Берілген үш а, b, с қабырғалары бойынша үшбұрыш салу керек.
Шешуі. Сәуле алып оның бойына а-ға тең ВС кесіндісін саламыз (25-сурет). Циркульдің ашасын с-ға тең етіп, В нүктесін центр етіп алып доға жүргіземіз. Одан соң циркульдің ашасын b-ға тең етіп, С нүктесін центр егіп екінші доға жүргіземіз. Бұл доғаларды ВС сәулесінің бір жағында жүргіземіз. Сонда олар бір А нүктесінде қиылысады. А нүктесін В және С нүктелерімен қосып ABC үшбұрышын аламыз. Бұл ізделініп отырған үшбұрыш. Себебі оның қабырғалары берілген кесінділерге тең: [ВС] =а, [ВА]=с, [СА]=b.
Есептің шешімі болуы үшін екі қабырғаның қосындысы үшінші қабырғадан артық болуы керек, яғни а<b+с, b<а+с және с<а+b шарттары орындалуы керек.
Есеп. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу керек.
Шешуі, Төбесі Е нүктедегі - бұрыш және b, с кесінділері берілсін (26-сурет). Е бұрышына тең А бұрышын саламыз.
Циркульдің көмегімен А бұрышының қабырғаларының бойына төбесінен өлшеп b-ға тен AC кесіндісін және с-ға тең АВ кесіндісін салалық. В, С нүктелерін қосьш, ізделінді ABC үшбұрышын аламыз.
Шындығында, салуымыз бойьшша |АВ|=с, |АС|=b, А=Е. Есептің жалғыз ғана шешімі бар.
Есеп. Бір қабырғасы және оған іргелес жатқан бұрыштары бойынша үшбұрыш салу керек.
Шешуі. Төбелері Е және F болатын сәйкес екі бұрыш және а кесіндісі берілсін (27-сурет).
l түзуін жүргізіп оның бойына берілген а кесіндісіне тең ВС кесіндісін өлшеп салалық. l тузуімен анықталған жарты жазықтықтың бірінде екі бұрыш салалық. Бір қабырғасы ВС сәулесімен бағытталған Е бұрышына тең бұрыш және бір қабырғасы СВ сәулесімен бағытталған F бұрышына тең бұрыштар саламыз. Олардың екінші қабырғалары А нүктесінде қиылысады. Шыққан ABC үшбұрышы ізделінді үшбұрыш.
Шындығында, салуымыз бойьшша В=Е, C=F және [ВС]=а. Үшбұрыштың екі бұрышы бірден доғал бола алмайды.Сондықтан есептің шешімі болу үшін E+ F < 180° шарты орындалуы керек.
Достарыңызбен бөлісу: |
