Математика
Умножение комплексных чисел
жүктеу/скачать 189,32 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 7. Деление комплексных чисел.
| 6. Умножение комплексных чисел.
Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение. О п р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. З а м е ч а н и е 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть –1 + 0i, т. е. –1. З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1. Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i. Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2 Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число. 7. Деление комплексных чисел. Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение. О п р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое. Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом. Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i). Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим: ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i. Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку. Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i. Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу: Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi. З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления. З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласно определению, мы должны иметь: (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi. Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения: a’x – b’y = a; b’x + a’y = b. Эта система имеет единственное решение: если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’2 + b’2 = 0. Остается рассмотреть случай a’2 + b’ 2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е. когда делитель a’ + b’i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности). жүктеу/скачать 189,32 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|