2. Көп айнымалы 2-ретті дифференциалдық теңдеуді канондық түрге келтіру Жоғарғы ретті туындылары бойынша сызықты көп айнымалы дифференциалдық теңдеуді қарастырайық:
(2.18) Коэффициенттері аймақта анықталған функциялар. Теңдеу (2.18) канондық түрге келтіру үшін тәуелсіз айнымалыларды жаңа айнымаларға алмастырамыз. Олардың арасындағы байланыс:
(2.19) формулаларымен берілсін. Функция және .
Белгісіз функцияның туындыларын байланыстыратын формулалар:
пайдаланып, (2.18) теңдеуден жаңа теңдеуді аламыз:
(2.20) Мұндағы, коэффициенттері:
(2.21) теңдіктерімен анықталады.
Алмастыру (2.19) нәтижесінде алынған (2.20) теңдеуді канондық түрге келтіру үшін, функциясын таңдап, нәтижесінде коэффициенттері болуы керек.
Мысалға, коэффициент болу үшін функция мына теңдеуді қанағаттандыруы қажет:
(2.22) Алынған (2.22) теңдеу бірінші ретті 2-дәрежелі дербес туындылы дифференциалдық теңдеу. Жалпы жағдайда сызықты емес дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табатын әдістер жоқ. Белгісізді табу мүмкін емес. Екіншіден, таңдайтын белгісіз функциялардың саны -ге тең, ал нөлге айландыратын коэффициенттер саны болғандықтан, мәндерінде, яғни белгісіз функция жеткіліксіз. Сондықтан жалпы жағдайда кез келген аймақта (2.18) теңдеуді канондық түрге келтіруге болмайды. Ал, аймақтың әрбір нүктесінде канондық түрге келтіруге болады. Себебі, тұрақталған нүктеде , (2.18) теңдеудің коэффициенті тұрақты болғандықтан (2.19) алмастыру формуласында -сызықты функциялар түрінде алып, яғни
(2.23) онда жаңа коэффициенттер
(2.24) теңдіктерімен анықталады. Сондықтан ерекше емес сызықты түрлендіру (2.23) көмегімен , ал диогоналдық коэффициенттер , тұрақты сандар инерция заңы бойынша оң, теріс және нөлге тең, ал саны тұрақты. Егер де коэффициенттері болатын квадраттық форма ерекше емес сызықты түрлендіру жасасақ, онда
(2.25) мұндағы,
(2.26) Матрица таңдау арқылы квадраттық (2.25) форма канондық түрге келтіруге болатыны белгілі, яғни матрица
(2.27) теңдіктер (2.24) пен (2.26) салыстырсақ, олар өзара ұқсас тек қана элементтердің индекстерінің орны ауысқан.
Сонымен, (2.24) пен (2.26) бірдей болуы үшін (2.23) алмастырудағы матрицаның орнына - транспоналдық матрица алсақ жеткілікті, яғни . Осы сызықты алмастыру нәтижесінде коэффициенттері нүктеде тұрақталған (2.18) теңдеудің канондық түрі (2.20) келесі түрде болады:
(2.28) коэффициенттері таңбасына байланысты (2.18) теңдеуді түрліше ішкі класстарға (классификацияларға) бөледі.
Анықтама 4. Егер де коэффициенттері болса, онда (2.18) дифференциалдық теңдеу нүктеде эллиптикалық типке жатады дейді.
Мысалы: Лаплас теңдеуі , коэффициенттер санын s, санын , ал санын деп белгілейік.
Анықтама 5.Егер де оң саны , ал теріс саны және болса, онда теңдеу (2.18) нүктеде гиперболалық типке жатады дейді.
а) Ал егер немесе болса, онда теңдеу (2.18) нүктеде нормалды гиперболалық типке жатады дейді. Мысалға толқын теңдеуі нормалды гиперболалық типке жатады.
б) Ал егер немесе болса, онда теңдеу (2.18) нүктеде ультрагиперболалық типке жатады дейді. Мысалға теңдеуі ультрагиперболалық типке жатады.
Анықтама 6.Егер де коэффициенттері , саны , ал қалғандары бір таңбалы болса, онда (2.18) теңдеу нүктеде параболалық типке жатады дейді.
а) Егер де , ал қалғандары бір таңбалы болса, онда теңдеу (2.18) нүктеде нормалды параболалық типке жатады дейді. Мысалы: жылуөткізгіштік теңдеу - нормалды параболалық типке жатады.
б) Егер де ал қалғандары бір таңбалы болса, онда теңдеу (2.18) нүктеде ультрапараболалық типке жатады. Мысалы: теңдеулер , ультрапараболалық типке жатады.
Анықтама 7.Егер де әрбір нүктеде (2.18) теңдеу эллиптикалық, не гиперболалық, не параболалық типке жатса, онда (2.18) теңдеу аймақта эллиптикалқ, не гиперболалық, не параболалық типке жатады дейді. Осы айтылған типке жатпайтын теңдеулер аралас типке жатады дейді. Мысалға теңдеуі парабола-гиперболалық типке жатады.
