Математикалық физиканың негізгі теңдеулеріне келтірілетін қарапайым физикалық есептер

§5. Толқын теңдеуі үшін Коши мен сипаттаушы есептердің шешімдерінің

жүктеу/скачать 0,96 Mb. бет 17/19 Дата 09.02.2023 өлшемі 0,96 Mb. #66528

Бұл бет үшін навигация:

• (5.2) тепе-теңдіктің орындалатынын тексеру қиын емес. Теңдікті (5.2)  аймақ бойынша интегралдап, Остроградский формуласын пайдалансақ, онда  U - U  V (5.3)
• (5.4) Теңдік (5.4) толқындық оператор  үшін Остроградский формаласы деп аталады. 2. R 2 -өлшемді кеңістікте Остроградкий формуласын қолдану
• (5.8) (5.8) - формуланы пайдаланып сипаттаушы есептің шешімін табуға болады. А нүктенің координаталары ( x 0 , t 0 ) болсын. Гурса есебі.

§5. Толқын теңдеуі үшін Коши мен сипаттаушы есептердің шешімдерінің интегралдық өрнегі 1. Толқың оператор үшін Остроградский формуласы. Rn+1-кеңістікте шешімі класта жататын толқын теңдеуін қарастырайық: U∆U-Utt= -F(x, t) (5.1) - толқындық оператор деп аталады. Нүкте x=(x1,…,xn)Rn, уақыт t0 Rn+1 –кез-келген аймақ, оның шекарасы S-үзік жатық бет. Бет S координаталар осьтеріне параллель түзулермен ақырлы нүктелерде қиылысады немесе қиылысу нүктелері түзудің кесіндісі. Егер де функциялар U(x,t), V(x,t) (), онда VU-UV= (5.2) тепе-теңдіктің орындалатынын тексеру қиын емес. Теңдікті (5.2)  аймақ бойынша интегралдап, Остроградский формуласын пайдалансақ, онда U-UV (5.3) Мұндағы: N - бет, S - ішкі нормаль. Егер де нормаль N жазықтық t = 0 симметриялы бағыт -конормалін енгізсек, онда Сондықтан (5.3) теңдікті мына түрде жазсақ болады: U-UV (5.4) Теңдік (5.4) толқындық оператор  үшін Остроградский формаласы деп аталады. 2. R2-өлшемді кеңістікте Остроградкий формуласын қолдану Дербес жағдайларды қарастырайық: а) Аймақ , P(x,t) нүктеден өтетін сипаттаушылар түзулермен және C-қисықпен қоршалсын. Аймақ   ∆P1PP2 – үшбұрыш, ал функция V(x,t)1 болсын, онда (5.4) формуладан (5.5) Сипаттаушылар P1P мен P2P - конормалдың бағыты түзулер P1P мен P2P бағыттас болғандықтан, олай болса, (5.5) теңдікті түрлендіріп негізгі интегралдық формуланы аламыз: U(P)= - dS+ ,t)dd. (5.6) . Егер де C осі x кесінді болса, яғни CP1P2, онда ,t) dd =,t-)d Сондықтан (5.6) формуладан, U(P)= + d+d (5.7) Даламбер формуласын аламыз. б) С қисығы А нүктеден өтетін екі сипаттаушы түзулердің кесінділерінен тұрады. Интеграл, болғандықтан (5.6) формуладан келесі формуланы аламыз: U(P)=U(P1)+U(P2)-U(A)+ (5.8) (5.8) - формуланы пайдаланып сипаттаушы есептің шешімін табуға болады. А нүктенің координаталары (x0, t0) болсын. Гурса есебі. Біртекті емес толқын теңдеуінің Utt=Uxx+F(x,t) сипаттаушылары Г1: x-x0=t-t0 мен Г2: x-x0=-(t-t0) шектелген аймақта мына шарттарды =(P1) =(P2), қанағаттандыратын шешімін табу керек. (5.8)-формуланы ескеріп, Гурса есебінің шешімін U(P)= (P1)+ (P2)- (A)+ (5.9) теңдікпен анықталатынын көруге болады. жүктеу/скачать 0,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу: